Los tres sistemas de amortización de préstamos: Francés, alemán y americano.
En algunas ocasiones las empresas necesitan dinero extra, ya sea para poder realizar una inversión, como por ejemplo, a adquisisión de una nueva maquinaria, remodelar la fabrica, abrir una nueva sucursal, etc., o bien para poder cubrir gastos, que en ocasiones con los ingresos no se puedan cubrir. Para ello habrá dos fuentes para obtener dicho dinero:
La financiación propia con el uso de su capital y/o reservas.
Una financiación externa a través de un crédito.
Los creditos bancarios a mediano y largo plazo, sirven para apoyar la financiación externa de la empresa. Existen tres tipos de créditos tomando distintos bienes como garantía de pago: Hipotecarios, Prendarios y Personales
Los tipos de créditos bancarios
Hipotecarios: La garantía es un inmueble (generalmente es el mismo bien por el cual se pide el préstamo).
Prendarios: La garantía es un rodado (generalmente es el mismo bien por el cual se pide el préstamo).
Personales: La garantía será la ejecución de bienes personales del deudor para saldar el monto de la deuda que aún tenga y no pueda pagar.
Una vez otorgado el crédito existirán tres maneras o sistemas de amortización de préstamos: Sistema Francés, Sistema Alemán, y Sistema Americano. Cada entidad financiera decidirá cual aplicará según sus conveniencias.
Los tres sistemas de préstamos: Sistema francés, sistema alemán y sistema americano
Sistema francés – Cuota constante
Este sistema de préstamos es el más utilizado, principalmente por los bancos -pero no exclusivamente-, a la hora de otorgar créditos, sean estos personales, prendario o hipotecarios. La característica principal del mismo es que la cuota a pagar se mantendrá constante durante todo el período, es decir que la cuota a pagar será fija.
Sus características son:
Cuotas constantes a períodos regulares de tiempo: Es decir, que la cuota será fija durante todo el período en que se devuelva el prestamo.
Una parte de la cuota esta destinada a amortizar el capital prestado y la otra parte al pago de intereses.
Como la deuda es mayor al principio el pago de las cuotas tienen un componente mayor de interes que de amortización de capital.
El pago de intereses, período a período, es cada vez menor ya que se calcula sobre el saldo de la deuda que queda.
Es decir que al principio se paga mas intereses que capital, y con el correr del tiempo esa relación se invierte.
Para calcular el valor de la cuota constante tenemos la siguiente formula:
Fórmula para calcular la cuota constante en el sistema francés.
Donde C= Valor de la cuota constante; V= Valor o cantidad del préstamo; i=interés del período; n= número de cuotas.
Sistema francés
Sistema alemán
Este sistema es otro de los métodos utilizados, pero en mucho menor medida, principalmente, porque con el modelo anterior el monto final a devolver es algo mayor que con este.
La principal diferencia entre ambos es que en el alemán el capital se amortiza en forma constante y los intereses se calculan en forma anticipada. Sus características son:
El capital abonado en cada cuota siempre es el mismo, es decir que proporción que se paga de capital (amortización) se mantendrá constante.
Los intereses son decrecientes.
Al disminuirse el capital por cada cuota abonada la cuota será decreciente.
Para calcular el valor de la cuota constante con este sistema se utiliza la siguiente fórmula:
Fórmula Valor de la cuota en el sistema alemán
Donde: a= Valor de la cuota; Co= Valor o cantidad del préstamo; i= interés del período n= cantidad de cuotas
Sistema alemán
Comparación entre el sistema francés y alemán
Comparativa entre el sistema francés y el alemán.
Sistema americano
El tercer sistema de amortización es el Americano. El mismo consiste en el pago periódico de cuotas que incluyen únicamente interés, y en la última cuota se paga se paga el capital amortizado, es decir cuando vence el préstamo. Sus características son:
Desde la cuota 1 hasta la anteúltima cuota se paga únicamente intereses.
En la última cuota se paga el total del capital prestado mas los intereses.
La formula para el calculo de la cuota es \( Cuota = Co / cdot i = \)
Donde Co es el capital prestado e “i” es la tasa de interés.
La cuota final es: \( Co + (Co \cdot i) = \)
Donde nuevamente Co es el prestado e “i” es la tasa de interés.
Donde nuevamente i corresponde a la tasa de interés, y el capital inicial es el monto total prestado.
Los tres sistemas de amortización de prestamos con algunas de sus ventajas y desventajas se pueden ver en el siguiente cuadro.
Sistema Francés
Sistema alemán
Sistema americano
Al inicio en cada se paga una proporción mayor de intereses que de capital
A la mitad del préstamo se amortizó casi el total del capital
Es el mas sencillo de los tres
Cuotas constantes o fijas durante todo el período de devolución
Al ir finalizando el préstamo las cuotas son cada vez mas bajas
En las cuotas solo se pagan intereses
Es el sistema que se utiliza con mayor frecuencia
No conviene si se tiene pensado cancelar antes de la finalización del préstamo
Permite al ahorrar dado que la cuotas son bajas
Es conveniente si uno tiene pensado cancelar antes de la finalización del préstamo
Dificultad para pagar la ultima cuota que es muy alta.
Sistemas de amortización de préstamos – Comparativa entre los tres tipos de sistemas.
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Propiedades de las raíces o propiedades de la radicación
¿Qué es la radicación o raíz?
Como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación, la radicación es la operación inversa de la potenciación.
Para calcular una raíz primero conozcamos sus partes:
Partes de una raíz – Propiedades de las raíces
Por lo tanto, el resultado de una raíz (b) es un número, tal que elevado al índice (n) me de como resultado el radicando (a). Por ejemplo:
\( \sqrt[3]{8}= 2 \) Porque \( 2^3 = 8 \)
Propiedades de las raíces o la radicación
Veamos otro ejemplo: \( \sqrt[3]{125}= \)
Entonces habrá que buscar un número que elevado a la 3 me de como resultado 125.
\( ?^3 = 125 \)
Y ese número es 5, porque \( 5^3 =125 \). Entonces: \( \sqrt[3]{125}= 5 \)
Una simple aclaración: si una raíz tiene como índice 2 se leerá como “raíz cuadrada de…” y si el índice es 3 se leerá como “raíz cúbica de…”
Al igual que la potencia, existen propiedades de las raíces que son necesarias tener en cuenta a la hora de operar con ellas. A continuación las explicaremos a todas paso a paso.
Propiedades de la radicación
Recuerden revisar los nombres de cada parte de la operación de radicación para entender mejor cada propiedad, de todos modos con los ejemplos numéricos que daremos debajo de cada uno seguro también se entenderá.
1 La radicación de un número positivo en el radicando y que su índice sea par tiene dos resultados, uno positivo y el otro negativo.
Por ejemplo: \( \sqrt[2]{16}= + 4 \)
\( \sqrt[2]{16}= – 4 \)
Luego:
\( \sqrt[2]{16}= |4| \) (es decir que se lo puedo expresar como valor absoluto).
Porque: \( 4^2 = 16 \) y \( (-4)^2 = 16 \)
Aclaración: Si bien, como vimos ambas, respuestas son matemáticamente válidas, con fines pedagógicos solamente se utilizaran los resultados positivos.
2 La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática.
\( \sqrt[2]{-16}= \nexists \)
Porque: \( 4^2 = 16 \) y \( (-4)^2 = 16 \)
En ambas situaciones nunca el resultado va a dar negativo.
3 Si tengo una raíz con índice impar, el resultado tendra el mismo signo que el radicando
También se se pueden anular o simplificar los exponentes cancelándolos con los índices de las raíces, para hacer esto habrá que dividir el índice con el exponente, y ese resultado es el nuevo índice de la raíz.
En el estudio de la microeconomía, el punto de equilibrio es un concepto clave. Para comprenderlo, es necesario familiarizarse con dos variables esenciales: la curva de oferta, que representa la relación entre el precio y la cantidad ofrecida de un bien, conocida como función oferta, y la curva de demanda, que refleja la relación entre el precio y la cantidad demandada de un bien, denominada función demanda.
Comprender el punto de equilibrio es fundamental para los empresarios, ya que les proporciona las herramientas necesarias para tomar decisiones informadas sobre la fijación de precios y la gestión de la producción.
En este artículo, examinaremos minuciosamente estas dos variables para comprender cómo se obtiene el punto de equilibrio en economía. Mantendremos un enfoque técnico y claro, lo que facilitará su comprensión.
¿Qué es la oferta y demanda?: Ley de oferta y demanda
¿Qué es la oferta?
Es la cantidad de productos que un vendedor está dispuesto a ofrecer (vender), en un momento determinado, en relación a los distintos precios, sin tener en cuenta otros factores que puedan hacer modificarla.
La función oferta
La oferta se refiere a la cantidad de productos que un vendedor está dispuesto a ofrecer en un momento determinado en relación a diferentes precios, sin tener en cuenta otros factores que puedan modificarla. En otras palabras, la función oferta se basa en dos variables principales: el precio y la cantidad ofrecida, manteniendo constantes todos los demás factores, un principio conocido en economía como “ceteris paribus”.
Para ilustrar este concepto, consideremos un ejemplo con una librería que vende cuadernos. ¿A qué precio querría vender estos cuadernos? La respuesta seguramente sería a un precio que cubra los costos y, al mismo tiempo, genere un beneficio o ganancia, que sería más deseable cuanto mayor sea. Por lo tanto, se intentaría vender al precio más alto posible.
Sin embargo, como veremos más adelante, el precio de venta afectará la cantidad de cuadernos que las personas estarán dispuestas a comprar. Si los precios son demasiado elevados, es probable que nadie desee adquirir los cuadernos. Por otro lado, si se ofrecen a un precio muy económico, podría no ser conveniente para el vendedor, ya que no se cubrirían los costos adecuadamente.
A continuación, presentamos una tabla que ilustra la cantidad de cuadernos que estamos dispuestos a ofrecer a diferentes niveles de precios. Ten en cuenta que, en esta ilustración, mantenemos constantes todas las demás variables para simplificar el ejemplo y comprender mejor la relación entre oferta y precio:
PRECIO DE LOS CUADERNOS
CANTIDAD OFRECIDA
$ 50
10
$60
12
$70
14
$80
16
$90
18
$100
20
$110
22
$120
24
$130
26
La función oferta
Esta tabla nos permite visualizar cómo la cantidad de cuadernos ofrecidos varía a medida que cambian los precios. La relación entre oferta y precio es un componente esencial de la Ley de Oferta en economía.
Ley de oferta
Es la relación entre la cantidad ofrecida y su precio, en dónde cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad ofrecida, y a la inversa, a menor precio, menor cantidad ofrecida, teniendo en cuenta el mencionada ceteris paribus.
La curva de oferta
Para representar gráficamente la curva de oferta, utilizaremos los datos de la tabla de la función oferta que se presentó anteriormente. En esta tabla, a cada cantidad ofrecida se le asigna un precio correspondiente en el eje de las “Y”, mientras que la cantidad ofrecida se representa en el eje de las “X”. Es importante destacar que la curva de oferta presenta una pendiente positiva y es creciente.
¿Qué es la oferta? Gráfico de la curva de oferta
Nota: La de curva de oferta no tiene un comportamiento lineal, se lo hizo así con fines pedagógicos para facilitar su comprensión.
¿Qué es la demanda?
La demanda se refiere a la cantidad de productos que un comprador está dispuesto a adquirir en un momento determinado en relación a diferentes precios, sin tener en cuenta otros factores que puedan influirla. En otras palabras, en la función de demanda, participan principalmente dos variables: el precio y la cantidad demandada, manteniendo constantes otros factores, lo que se conoce en economía como “ceteris paribus”.
La función demanda
La función de demanda se basa en dos variables principales: el precio y la cantidad demandada del bien en cuestión, considerando el principio del “ceteris paribus” mencionado anteriormente.
Cuando analizamos esta situación desde la perspectiva de los compradores, nos preguntamos: Si desean comprar un producto, ¿a qué precio estarán dispuestos a hacerlo (siempre que cumpla con sus estándares de calidad)? La respuesta es clara: preferirán adquirirlo al precio más económico posible. En otras palabras, a un precio más bajo, habrá una mayor cantidad de personas interesadas en comprar ese bien, y, inversamente, a precios más elevados, habrá menos personas dispuestas a hacerlo.
Sin embargo, como ya hemos estudiado en la función de oferta, el precio de venta también afecta a los oferentes, ya que a precios muy bajos, no estarán dispuestos a ofrecer sus bienes, y a precios muy altos, no habrá compradores.
Para ilustrar esta idea, consideremos el ejemplo de los cuadernos desde la perspectiva del comprador (demanda). La siguiente tabla mostrará cómo varía la cantidad de cuadernos que las personas comprarán a medida que cambian los precios.
Precio
Cantidad demandada
$ 50
30
$60
28
$70
26
$80
24
$90
22
$100
20
$110
18
$120
16
$130
14
Función demanda
Esta tabla nos permite visualizar cómo la cantidad de cuadernos demandados varía a medida que cambian los precios. La relación entre la demanda y el precio es un componente esencial de la Ley de la Demanda en economía.”
Ley de demanda
La Ley de Demanda se define como la relación entre la cantidad demandada de un bien y su precio. A mayor precio, menor será la cantidad demandada, y viceversa, a menor precio, mayor será la cantidad demandada, manteniendo constante el resto de las variables.
La curva de demanda
Para representar gráficamente la curva de demanda, utilizaremos los datos de la tabla de la función de demanda que se presentó anteriormente. En esta tabla, a cada cantidad demandada de un bien se le asigna un precio correspondiente. En el eje de las “X” se encuentran las cantidades demandadas, mientras que en el eje de las “Y” se ubican los precios correspondientes a cada cantidad. Es importante destacar que la curva de demanda presenta una pendiente negativa y es decreciente.
¿Qué es la demanda? Gráfico de la curva de demanda
Nota: La de curva de demanda no tiene un comportamiento lineal, se lo hizo así con fines pedagógicos para facilitar su comprensión.
El punto de equilibrio económico
El equilibrio de mercado
¿Qué es el punto de equilibrio?
Ahora es el momento de analizar ambas situaciones simultáneamente. Por un lado, tenemos a los vendedores (oferta) y, por otro lado, a los compradores (demanda), ambos con intereses contrapuestos. Los vendedores desean vender al precio más alto posible, pero eso atraerá a pocos compradores. Por otro lado, a precios muy económicos (lo que desean los compradores), los vendedores no querrán ofrecer sus productos, como se explicó anteriormente.
De este modo, a medida que los precios varíen, tanto los vendedores como los compradores ajustarán las cantidades ofrecidas y demandadas según sus respectivos intereses, como se discutió en los apartados anteriores sobre la función de oferta y la función de demanda. Llegará un punto en el que, a un nivel de precios específico, las cantidades ofrecidas y demandadas se igualarán. En economía, a esta situación se le conoce como el “punto de equilibrio”.
Ahora, examinemos la situación recién explicada en una nueva tabla que combina las funciones de oferta y demanda utilizadas como ejemplos en las explicaciones anteriores
PRECIO
CANT. OFRECIDA
CANT. DEMAN-DADA
EXCESO ESCASEZ
$ 50
10
30
Exceso de demanda
$60
12
28
Exceso de demanda
$70
14
26
Exceso de demanda
$80
16
24
Exceso de demanda
$90
18
22
Exceso de demanda
$100
20
20
Punto de equilibrio
$110
22
18
Escacez de demanda
$120
24
16
Escasez de demanda
$130
26
14
Escasez de demanda
Función oferta y demanda
En la tabla, puedes observar cómo las cantidades ofrecidas y demandadas se igualan a un nivel de precio específico, lo que representa el punto de equilibrio. Esto indica que tanto los vendedores como los compradores han llegado a un acuerdo sobre las cantidades que se comprarán y venderán. Es importante recordar que este ejemplo se basa en el principio de ceteris paribus, donde se mantienen constantes todas las variables excepto el precio.
¿Pero qué sucede fuera del punto de equilibrio? Por un lado, si la cantidad demandada es mayor que la ofrecida, se genera una situación de exceso de demanda, lo que significa que las personas desean adquirir más de lo que los vendedores están dispuestos a ofrecer. Por otro lado, si la cantidad ofrecida supera a la cantidad demandada, se produce una escasez de demanda, es decir, que existen más productos disponibles para la venta de los que se desean comprar. Es importante recordar que en el punto de equilibrio no hay ni excesos ni escasez.
En nuestro ejemplo, a un precio de $70, se produce un exceso de demanda de 12 unidades, ya que los compradores desean adquirir 26 unidades, pero los vendedores solo ofrecen 14. Por otro lado, a un precio de $120, se genera una escasez de demanda de 8 unidades, ya que los vendedores desean vender 24 unidades, pero solo hay 16 compradores.
Es fundamental destacar que esta situación también se puede analizar desde la perspectiva inversa. Cuando la cantidad ofrecida supera a la demandada, se denomina “exceso de oferta”, como es el caso con un precio de $120. Por otro lado, cuando la cantidad ofrecida es menor que la demandada, se llama “escasez de oferta”, como ocurre a un precio de $60.
Curva de oferta y curva demanda: Cómo graficar el punto de equilibrio
Para representar gráficamente el punto de equilibrio, simplemente necesitas combinar en un solo gráfico la curva de oferta y la curva de demanda, las cuales se explicaron y graficaron en secciones anteriores de este artículo. Al unir ambos gráficos, obtendrás una representación visual de la siguiente manera:
¿Cómo graficar el punto de equilibrio?: El cruce de la curva de oferta y la curva de demanda.
Como vemos, el punto donde se cruzan las curvas de oferta y demanda es el punto de equilibrio, que se encuentra en 20 unidades en el eje de las “X” y $100 en el eje de las “Y”. Todo lo que se encuentra por encima de este punto representa escasez de demanda, mientras que lo que está por debajo indica exceso de demanda.
Si hay escasez de demanda, significa que las empresas tienen más productos para ofrecer de lo que las personas desean comprar. En esta situación, los vendedores tomarán dos acciones: a) reducirán sus precios para vender el exceso de stock, y b) disminuirán su producción, ya que tienen productos sin vender.
Por otro lado, si hay un exceso de demanda, significa que las personas desean adquirir más bienes de los que las empresas tienen disponibles. En esta situación: a) los vendedores aumentarán sus precios para aprovechar la alta demanda, y b) aumentarán su producción para satisfacer la demanda insatisfecha.
Conclusiones:
Como hemos visto, el punto de equilibrio se determina a través de las funciones de oferta y demanda, y estas están sujetas al principio del ceteris paribus, lo que significa que se mantiene constante una variable (en este caso, el precio) mientras que las demás permanecen estáticas. Sin embargo, esta situación de equilibrio no es estática en la práctica, ya que hay factores subyacentes a la oferta y la demanda que pueden hacer que estas curvas se desplacen, generando nuevos puntos de equilibrio de manera constante.
Si deseas aprender más sobre cómo estos factores subyacentes afectan el mercado, te invitamos a leer nuestros artículos sobre el desplazamiento de la curva de oferta y el desplazamiento de la curva de demanda. Haz clic en los enlaces a continuación para profundizar en estos conceptos.
Por último, es importante destacar que el comportamiento del punto de equilibrio se da bajo lo que se llama competencia perfecta, que sigue las ideas de Adam Smith, en la que existen numerosos vendedores y compradores en un mismo mercado, y donde prevalece la libertad de mercado sin que ningún agente tenga un poder significativo.
En contraste, pueden existir escenarios en los cuales alguno de los agentes ejerza su poder, y la libertad de mercado deje de existir. Esta situación se conoce en economía como mercados de competencia imperfecta. Si deseas profundizar en estos conceptos y entender sus implicaciones, te recomendamos leer nuestro artículo sobre este tema específico.
Las propiedades de la potencia en los números enteros
Definición de potenciación o potencia
¿Qué es la potenciación?. La potencia o potenciación es una forma abreviada de expresar una multiplicación de un mismo número que se repite dos o mas veces. En otras palabras significa multiplicar un número (la base) por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente. Su uso principal será entonces para simplificar multiplicaciones de un mismo numero. Veamos en detalle:
Partes de una potencia
Propiedades de la potencia
Base: Es el número o factor que se va a repetir tantas veces como lo indique el exponente.
Exponente: Es el número que va a indicar la de veces que se debe multiplicar la base. Si no se escribe ningún exponente, implícitamente se entiende que está elevado a la 1. Por otro lado, si el exponente es 2 recibe el nombre “al cuadrado”, y si el exponente es 3, recibe el nombre “al cubo”.
Veamos algunos ejemplos de potencias:
\( 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 \) significa que el 2 lo multiplico 2 veces.
\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) significa que el 2 lo multiplico 3veces. \( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) significa que el 2 lo multiplico 4 veces.
\( 2^5= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 32 \) significa que el 2 lo multiplico 5 veces.
Potenciación con números negativos: Lo mismo sucede para las situaciones donde la base es negativa, salvo que en estos casos hay que tener en cuenta la Ley o regla de los signos.
\( (-2)^2 = (-2) \cdot (-2 )= 4 \) significa que el (-2) lo multiplico 2 veces. \( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2)\cdot (-2) = -8 \) significa que el (-2) lo multiplico 3 veces. \( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) significa que el (-2) lo multiplico 4 veces. \( (-2)^5= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -32 \) significa que el (-2) lo multiplico 5 veces.
Es importante tener en cuenta que:
– Si la base es negativa y el exponente es par, por la ley de signos, el resultado será positivo.
– Si la base es negativa y el exponente es impar, por la ley de signos, el resultado será negativo.
Es decir, que si se están multiplicando dos o más potencias que tienen igual base, el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente tiene la suma de todos los exponentes.
La división de potencias con la misma base, es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
Es decir, que si están dividiendo dos o más potencias de igual base,el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente la resta de todos los exponentes.
5. En el caso de que haya multiplicación y división de potencias de igual base, dará como resultado otra potencia de igual base, y cuyo exponente será la suma o resta de los mismos según corresponda.
Es decir que se puede operar indistintamente con multiplicaciones y divisiones de igual base, siempre y cuando se respete la suma o resta, según corresponda.
En el caso que haya una potencia de una potencia, dará como resultado otra potencia, cuyo exponente será la multiplicación de los mismos.
Es decir que si tenemos un número elevado a una potencia, y que a su vez está elevado por otra potencia, el resultado será otra potencia que mantendrá la base, y que el exponente será la multiplicación de todos los exponentes.
En el caso que haya una multiplicación de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la multiplicación de las mismas.
Es decir que si tenemos dos potencias de igual exponente, multiplicamos sus bases y dejamos el mismo exponente.
En el caso que haya una división de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la división de las mismas.
La proporcionalidad directa es una relación de correspondencia entre dos magnitudes, que al multiplicarlas o dividirlas a cualquiera de ellas por un número, la otra también queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
Entonces, luego, si comparamos ambas magnitudes, existirá una relación de correspondencia y proporcionalidad, cuando el cociente de ambas cantidades dé como resultado el mismo valor. El cociente es el resultado que da al dividir dos números cualquiera, sin tener en cuenta al resto.
Ejemplo: Si para hacer una torta necesito 2 huevos. ¿Cuántos necesitaré para hacer 2, 3, 4 o 5 tortas?
Cantidad de Tortas
Cantidad de huevos
1
2
2
4
3
6
4
8
5
10
Tabla de proporcionalidad directa
Fijémosnos lo siguiente:
A medida una de las magnitudes aumentaba, la otra lo hacia en la misma proporción:
Tortas Huevos Relación 1×1=1 2×1=2 Ambas están multiplicadas por 1
1×2=2 2×2=4 Ambas están multiplicadas por 2
1×3=3 2×3=6 Ambas están multiplicadas por 3
1×4=4 2×4=8 Ambas están multiplicadas por 4
1×5=5 2×5=10 Ambas están multiplicadas por 5
De tal modo, entonces, se está cumpliendo la primera de las premisas que escribimos en la definición: al multiplicarlas o dividirlas a cualquiera de ellas por un número, la otra también queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
Observemos también que: 2:1=2 4:2=2 6:3=2 8:4=2 10:5=2
Se está cumpliendo con la otra premisa de la definición: el cociente de ambas cantidades de las magnitudes dé como resultado el mismo valor. Esto lo veremos también reflejado mas adelante.
Entonces, como consecuencia de estas premisas de la proporcionalidad directa se van a dar las siguientes dos situaciones:
A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
Métodos para calcular “Proporcionalidad Directa”
Para calcular proporcionalidad directa tenemos tres métodos o formas:
Con la razón de proporcionalidad.
Regla de tres simple.
Reducción de la unidad.
1 Razón de proporcionalidad
Este método de proporcionalidad directa es con el que se explicó la primera parte, cuando hablamos de que se multiplicaba (o dividía) dos magnitudes por un mismo número.
Veamos un ejemplo: “Para hacer una torta se necesita 1 huevo y 10 cucharadas de harina. ¿Cuántos ingredientes de cada uno necesitaré para hacer 2,3 o 4 tortas?
Proporcionalidad directa – Método razón de proporcionalidad
Nótese que en cada caso ambas magnitudes (huevos y cucharadas de harina), fueron multiplicadas por un mismo número: 2, 3 y 4, respectivamente, según la cantidad de tortas que tenía que hacer.
Por otro lado, si dividimos 10:2; 20:4; 30:6; 40:8; en todos los casos nos da como resultado 5, y el resultado de esa división (cociente), es lo que se llama: Razón de proporcionalidad.
Entonces con ejemplo podemos demostrar que se cumplen ambas premisas que mencionamos en el punto anterior.
2 Regla de tres simple o Valor tipo faltante
La regla de tres simple es otro método que tenemos para calcular proporcionalidad directa. Este método es muy útil cuando conocemos tres valores y necesitamos hallar un cuarto, siempre estableciendo una relación de proporcionalidad.
Este método es muy utilizado e ideal para usar en cálculos de tiempo, porcentajes, cantidades según el sistema métrico decimal u otro.
Veamos un ejemplo de cómo usar el método de regla de 3 simple:
Si en 20 paquetes hay 100 figuritas, si quiero tener 150 figuritas ¿Cuántos paquetes necesito?
Planteamos la situación:
Si en 20 paquetes ………….. 100 figuritas en X paquetes …………… 150 figuritas
X= Es la incógnita: Cuántos paquetes necesito para tener las 150 figuritas que quiero.
Nótese que al plantear la situación del lado izquierdo se agrupó a los paquetes, y del lado derecho se agrupó a las figuritas.
Una vez planteada la situación podremos empezar a resolver la regla de tres simple.
20 …. 100 X ….. 150
Ahora lo que tenemos que hacer es plantear una ecuación en donde vamos a igualar las multiplicaciones con sus valores cruzados. (20 por 150 en verde de un lado, y 100 por X, en morado del otro lado de la igualdad)
Y ahora resolvemos matemáticamente la ecuación.
Método de cálculo de proporcionalidad directa: Regla de tres simple
Es decir que para tener 150 figuritas necesitamos 30 paaquetes.
2.1 Regla de tres simple aplicada a calcular porcentajes
Supongamos que queremos calcular el 30% de 500. Para ello nos es útil utilizar la regla de tres simple:
Veamos otro ejemplo de regla de tres simple aplicada al cálculo de porcentajes.
El precio de una notebook es de $70.000 pero hay una oferta que pagando en efectivo realizan un 15% de descuento. ¿Cuál es el precio que pagaré si aprovecho dicha oferta?
70.000 —– 100% x ——- 15%
\(\frac{70.000 \cdot 15}{100} = \frac{1.050.000}{100} = \frac{10.500} . Por lo tanto el descuento es de $10.500. Entonces a los $70.000 le tengo que restar los $10.500 del descuento. $70.000 – $10.500 = $59.500
Por lo el precio de la notebook con el descuento incluido, es decir el valor que voy a pagar es de $59.500.
3 Reducción a la unidad
Cómo el nombre lo indica, en este método, habrá que calcular el valor de uno sólo de esa magnitud, y a partir de allí multiplicar por el valor deseado para conseguir la información que buscamos.
Ejemplo: Si con 5 litros de combustible puedo viajar 10 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros podré hacer con 8 litros.?
Lo primero que vamos hacer es buscar el valor de una sola unidad de la magnitud que buscamos, en nuestro caso, cuantos kilómetros podemos hacer con 1 solo litro de combustible.
[latex] 10:5 = 2 \) es decir que 1 litro de combustible puedo hacer 2 kilómetros.
Ahora que conocemos el valor de la unidad, en nuestro caso cuántos kilómetros puedo hacer con un solo litro. El segundo paso será multiplicar ese resultado por el que queremos averiguar (en nuestro caso 8 kilómetros).
\( 2 . 8 = 16 \) Es decir, que con 8 litros podré hacer 16 kilómetros.
