septiembre 2020 – Ensamble de Ideas

Educación Física

Sep 30 2020

Teorema de Bernoulli

El Teorema de Bernoulli presenta gran interés en el mundo de la ciencia, la tecnología y la ingeniería, pues es capaz de explicar cuestiones físicas tan importantes cómo ¿Por qué vuela un avión? o ¿Cómo funciona una chimenea?

¡Veamos qué nos dice el Teorema de Bernoulli!

El Teorema de Bernoulli.

El físico suizo Daniel Bernoulli[note]1770-1782[/note] presentó en su obra Hydrodynamica de 1738 una caracterización muy importante sobre la ecuación de continuidad, el cual expresa el cambio de rapidez de un fluido al variar la presión del tubo por el que circula.

En otros artículos de Ensamble de Ideas, explicaremos la Ecuación de Continuidad con ejercicios prácticos.

Es importante aquí marcar que la variación en el valor de la velocidad también afecta a los valores de presión. Las presiones que debemos conocer obligatoriamente en nuestra comprensión del Teorema de Bernoulli son:

La presión hidrostática de un fluido es aquella que depende de la profundidad y del peso específico del fluido. En otras palabras, podemos definir matemáticamente a la presión hidrostática como: \( p_{h}=\delta \cdot g\cdot h \), siendo \( delta \) la densidad, \( g \) es la aceleración de la gravedad, \( h\) es la profundidad. Como la expresión \(\delta \cdot g\) es igual al peso específico del fluido, podemos reescribir la ecuación como \(p_{h}=\rho .h\)

La presión hidrodinámica de un fluido es aquella que depende de la densidad del fluido y su velocidad. Es decir, podemos definir matemáticamente a la presión hidrodinámica como: \( p_{H} = \frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v^{2} \), siendo \( \delta \)la densidad, \( v \) es la velocidad del fluido.

La presión absoluta sobre un cuerpo sumergido en un fluido en reposo es igual a la presión hidrostática dentro de un fluido, más la presión ejercida por la atmósfera. Denotaremos a la presión absoluta con la letra p, en cursiva.

Conociendo, entonces, estas tres presiones, podemos describir el teorema de Bernoulli de acuerdo a lo expresado a continuación:

Dada la siguiente imagen que describe un tubo cuyas características iniciales están dadas, por un lado, por una presión absoluta inicial \( p_{0}\), una altura inicial \( h_{0}\) y una velocidad inicial \( v_{0}\) y, por el otro, por una presión absoluta final \( p_{1}\), una altura final \( h_{1}\) y una velocidad final \( v_{1}\):

Figura 1: un tubo de características dadas en dos estadíos diferentes.

…el teorema de Bernoulli se expresa matemáticamente como:

Como vemos, del lado izquierdo de la igualdad aparecen los valores que corresponden al estadío inicial. Del lado derecho, son los valores que corresponden al estadío final. Como vemos, de ambos lados aparecen las mismas presiones (absoluta, hidrodinámica e hidrostática). Esto significa que la suma de las tres se mantiene constante en todo el tubo.

Aplicaciones del Teorema de Bernoulli

En la zona en donde la rapidez de un fluido es alta, el valor de la presión absoluta es bajo. De igual forma, si la rapidez del fluido es baja, la presión absoluta es alta.

De esta forma, si un tubo por el que circula un fluido se vuelve más angosto, la rapidez en su interior aumenta y, consecuentemente, disminuye la presión en esa zona, como se puede ver en la imagen.

Podemos notar esto en varias situaciones de la vida cotidiana. Por ejemplo, en una chimenea. Es común realizar pequeñas ventanas en el extremo superior de las chimeneas. El aire que corre por la zona superior de la chimenea presenta una velocidad mayor que la del aire que se encuentra dentro de dicha chimenea. En lo alto de la chimenea aparece, por lo tanto, una zona de baja presión, que obliga al humo a salir hacia arriba.

En los aviones, observamos perfiles de alas en los que el viento que fluye por la cara superior lo hace a una velocidad mayor que el circula por la cara inferior. Se genera entonces una presión dinámica debajo de las alas mayor a la de la cara superior del ala. Esto produce que el avión se eleve gracias a una fuerza de sustentación explicada por el teorema de Bernoulli.

Ejercicio Resuelto de Teorema de Bernoulli.

El agua ingresa en un departamento por una tubería de plomo con una velocidad de 8 m/s y una presión absoluta de \( 8\cdot 10^{5}Pa\). Una canilla (cuya agua sale a una increíble velocidad de 16 m/s) se encuentra abierta en el departamento, ubicada a 12m respecto del piso. ¿Cuál es la presión del agua?

Paso 1: Identifiquemos los datos iniciales. En primer lugar, escribamos las condiciones iniciales que utilizaremos en nuestro teorema de Bernoulli.

El enunciado indica que el agua ingresa en un departamento con una v=8m/s. Esto corresponde al factor \( v_{0}=8 \frac{m}{s}\) de la ecuación de Bernoulli.

El enunciado indica que la presión absoluta inicial \( p_{0}\) es \( p_{0}=8\cdot 10^{5}Pa\).

Podemos presuponer que el agua ingresa al departamento desde las cañerías de plomo que comienzan en el piso, pues no se indica lo contrario, por lo que la altura inicial es h=0m.

Paso 2: Identifiquemos los datos finales. Escribamos las condiciones finales que utilizaremos en nuestro teorema de Bernoulli.

El enunciado indica que el agua sale de la canilla con una v=16m/s. Esto corresponde al factor \( v_{1}=16 \frac{m}{s}\) de la ecuación de Bernoulli.

El enunciado indica que la canilla se encuentra a 12m de altura respecto del piso, por lo que la altura final es h=12m.

Paso 3: Volquemos los datos obtenidos del enunciado en la Ecuación del Teorema de Bernoulli (Ec. 1)

\( p_{0}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot \left ( v_{0} \right )^{2}+\delta \cdot g\cdot h_{0}=p_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot \left ( v_{1} \right )^{2}+\delta \cdot g\cdot h_{1}\)

\( 8\cdot 10^{5}Pa+\frac{1}{2}\cdot 1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot \left ( 8\frac{m}{s} \right )^{2}+1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot 9,8\frac{m}{s^{2}}\cdot 0m=p_{1}+\frac{1}{2}\cdot 1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot \left ( 16\frac{m}{s} \right )^{2}+1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot 9,8\frac{m}{s^{2}}\cdot 12m\)

Notarán que \( \delta\) corresponde a la densidad del agua, medida en kg/m³.

Paso 4: Despejando \( p_{1}\), obtendremos la presión del agua de la canilla buscada:

\( 8\cdot 10^{5}Pa+\frac{1}{2}\cdot 1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot \left ( 8\frac{m}{s} \right )^{2}+1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot 9,8\frac{m}{s^{2}}\cdot 0m-\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot \left ( 16\frac{m}{s} \right )^{2}-1000\frac{kg}{m^{3}} \cdot 9,8\frac{m}{s^{2}}\cdot 12m=p_{1}\)

La presión vale 586 400 Pa

Mesografía Sugerida

Te recomendamos el video del Canal Encuentro del Ministerio de Educación de la Nación Argentina producido por el programa educativo “Proyecto G”, en donde realizan diversas experiencias muy divertidas para explicar los alcances del Teorema de Bernoulli.

Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=BW0UmTEMMAc

Hernan Gomez 0 Comments

Sep 28 2020

Límites Indeterminados del tipo “0/0”

Cuando nos encontramos calculando límites, podemos caer en lo que hemos de llamar “indeterminaciones”, que deben ser salvados. Los casos de indeterminaciones son múltiples. Sin embargo, en este artículo nos ocuparemos de estudiar aquellos límites cuyo resultado nos da “0/0”, lo cual debe ser salvado.

Existen diversas formas de salvar una indeterminación del tipo “0/0”. He aquí algunas de ellas. Para una mejor organización, hemos separado los ejemplos que se nos pueden presentar en tres grandes grupos.

¡Comencemos!

Límites con factorizaciones

Los límites con factorizaciones son casos simples en las que pueden aplicarse trucos como cuadrado de un binomio, cubo de un binomio, factorización de polinomios y otras herramientas útiles para tratar de cancelar términos y obtener un límite determinado.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

En el ejemplo anterior se aplicó diferencia de cuadrados.

Veamos otros ejemplos con diferencia de cuadrados:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

En el siguiente ejemplo, se ha utilizado cubo de un binomio.

Recordemos:

Límites con radicales.

Para poder enfrentar los límites de este caso, es recomendable observar, primero, cuál es el factor que presenta el radical. Luego, hallar el conjugado de ese factor. Posteriormente, se deberá multiplicar la función por una fracción formada por dicho conjugado, tanto en el numerador como en el denominador.

Por último, será cuestión de aplicar las propiedades matemáticas que sean pertinentes para llegar a un resultado.

Veamos un ejemplo:

Límites con funciones trigonométricas

Los límites con funciones trigonométricas pueden resolverse teniendo en cuenta tanto las identidades trigonométricas como propiedades vistas en otros artículos. En este artículo, les presentamos, además, un límite especial de gran importancia para la resolución de ejercicios:

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 \)

¿De dónde proviene esto?

Su demostración se deduce de la siguiente manera:

Consideren un ángulo cuya medida en radianes sea \( x\), siendo \(<x<\frac{\pi }{2}\).

Luego, \( sen x < x <\tan x \)[Ec. 1]

y como \( senx\neq 0\), entonces podemos dividir la Ec. 1 por \(senx\):

\(\frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{tanx}{senx}\) [Ec. 2]

Sabiendo que \( \tan x=\frac{senx}{cosx}\), podemos reemplazar \( \tan x \) en la Ec. 2.

\( \frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{senx}{cos.senx}\)

Resulta, entonces, que:

\( 1<\frac{x}{senx}<\frac{1}{cosx}\)

Por lo tanto:

\( 1>\frac{senx}{x}>cosx \)

O bien:

\( cosx<\frac{senx}{x}<1\) (Inec. 1)

y como \( \lim_{x\rightarrow 0} cosx=\lim_{x\rightarrow 0} 1=1 \), resulta que:

\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 \)

Es necesario indicar que, para que la igualdad de la Inec. 1 sea correcta, se debe tener en cuenta el siguiente teorema:

Si f y g son dos funciones tales que \( \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L \) y h es otra función tal que para todo x próximo a a se verifica que: \( f(x)\leq h(x)\leq g(x)\), entonces existe el límite de h(x) cuando x tienda a a y ese límite vale L.