Sumas y restas de fracciones con distinto denominador e igual denominador.
¿Qué son las fracciones?
Las fracciones son números que muestran como un todo (un entero) puede ser divido en partes iguales y que proporción de esas partes iguales se están usando. Por ejemplo 1/4, significa que, al entero lo dividimos en 4 partes, y que en caso utilizamos 1 de esas 4 partes.
En otras palabras, una fracción es una cantidad dividida por otra cantidad, por lo tanto, representa una división no efectuada y puede tomárselo de esa manera para operar y simplificar cuentas.
Recordemos que las fracciones están compuestas por dos números separados por una raya llamada “raya fraccionaria”. La parte superior de las fracciones recibe el nombre de “numerador“, mientras que la inferior se llama “denominador“. Recordemos también, que este último, se lee como un número partitivo, es decir: \(\frac{1}{2} \) (un medio); \(\frac{1}{3} \) (un tercio); \( \frac{2}{5} \) (dos quintos); etc.
Operaciones de sumas y restas de fracciones
Ahora que ya recordamos rápidamente que eran las fracciones, vamos a ver ahora, como operar con sumas y restas de fracciones. Primero lo veremos en la situación que tengan el mismo denominador
Sumas y restas de fracciones con mismo denominador
Por ejemplo tenemos la siguiente operación
\(\frac{3}{10} + \frac{1}{10}= \)
Al tener el mismo denominador, lo que vamos a hacer es repetir el denominador y sumar los numeradores.
\(\frac{3}{10} + \frac{1}{10}= \frac{3+1}{10} = \frac {4}{10} = simplificando \frac{2}{5} \)
Recordemos que simplificar era dividir a una fracción por un mismo número. En este caso a \( \frac {4}{10}\) dividimos tanto numerador y denominador por 2, por eso nos quedó como resultado \(\frac{2}{5} \).
Para restar hacemos los mismo, dejamos el mismo denominador y restamos los numeradores.
\( \frac{9}{4} – \frac {6}{4} = \frac {9-6}{4} = \frac{3}{4} \)
Suma y resta de fracciones con distinto denominador
También puede ser que tengamos que hacer sumas y restas de fracciones con distinto denominador, es decir, que los números de abajo son distintos. Para ello vamos a ver distintas maneras de hacerlo, por cualquier camino llegaremos al mismo resultado, podrás elegir entonces cuál te resulta más sencillo de utilizar.
Supongamos que tenemos la siguiente operación: \( \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=\)
Si tenemos tenemos operaciones en donde los denominadores son distintos (en nuestro caso 2 y 5), lo que habrá que hacer es encontrar lo que se llama denominador común. En otras palabras encontrar un número que podamos dividir tanto por 2 como al mismo tiempo por 5. Conocer los criterios de divisibilidad puede ser muy útil para tal fin.
La primera opción es intentar sacarla mentalmente, muchas veces, y a medida que vamos adquiriendo más experiencia nos resultará fácil poder encontrar ese número, pero no de ser así, no se preocupen, hay otros métodos o formas para poder hallarlo.
Suma y resta de fracciones: Método 1
Una segunda opción, es hacer escribir las tablas de los denominadores con los que estamos trabajando y buscar cual es el primer número que se repite:
Tabla del 2: 2 – 4 -6 -8 -10 – 12 -14 -16 – 18 -20
Tabla del 3: 3 -6 -9 – 12 – 15 -18 -21 -24 – 27 – 30
Tabla del 4: 4 -8 –12 – 16 – 20 – 24 – 28- 32 -36 – 40
Si analizamos las tres tablas y buscamos cuál es el primer número que se repite en todas es el 12. Ese será el denominador común.
Si esta opción te resulta un poco larga o no tienes ganas de ponerte a escribir las tablas y encontrar el número tienes una tercera opción. Multiplicar todos los denominadores. En nuestro ejemplo será \( 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \). La contra que tendrás de hacerlo por este método es que probablemente te de como resultado un número grande, que luego lo tengas que simplificar. Aún así tienes tres maneras de poder hallarlo. Usa la que te resulte más fácil.
Una vez que hayamos el denominador común. En nuestro ejemplo será 12 (de todas maneras más adelante se resolverá por 24 -por si alguno le resulta más fácil encontrar el denominador común por el método de multiplicar), empezaremos a resolver la sumas y restas de fracciones. Para ello tenemos cuatro maneras de resolverlo.
Ejemplo de suma de fracciones por el método 1
\( \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=\) recordemos que el denominador común que calculamos es 12, así que lo escribimos, (por ahora sólo)
\( \frac { }{12} \)
Lo primero que vamos hacer es dividir el denominador común (12) por el denominador de la primera fracción (2) y al resultado lo vamos a multiplicar por el numerador de la primera fracción (1). La cuenta sería entonces:
\( 12/2 =6 \)
y luego se hace \( 6 \cdot 1 =6 \). Ese resultado lo anotamos en el numerador.
Se repite, así con la segunda fracción: \( 12/3 =4 \)
y luego\( 4 \cdot 2 = 8 \). Ese resultado lo anotamos en el numerador.
Y con la tercera fracción lo mismo. \( 12/4 =3 \)
y luego \(3 \cdot 3 =9 \). Ese resultado lo anotamos en el numerador.
.
La cuenta debería quedar expresada de la siguiente manera:
\( \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=\) \( \frac {6+8+9}{12} \) = \(\frac{23}{12}\)
¿Cómo sería la operación si hubiese elegido la opción de multiplicar los denominadores y el mismo sería 24 como calculamos mas arriba?. Haciendo el mismo procedimiento de dividir el denominador y luego multiplicar por el numerador, quedaría así:
\( \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=\) \( \frac {12+16+18}{24}=\) \(\frac {46}{24}\)
Simplificando por 2 queda \(\frac {23}{12}\)
Ejemplo de resta de fracciones por el método 1
\( \frac {5}{6} – \frac {1}{3}=\)
Buscamos el denominador común por alguno de los métodos anteriormente explicados, en este caso será 6 y procedemos a realizar las operación dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción en cuestión y multiplicando por su numerador. Por lo tanto
\( \frac {5}{6} – \frac {1}{3}=\) \( \frac {5 – 2}{6}= \) = \( \frac {3}{6}=\) \(\frac {1}{2} \)
Ejemplo de sumas y restas de fracciones por el método 1
Acá tenemos que proceder de la misma manera teniendo especial cuidado de respetar el orden y los signos de la cuenta presentada.
\( \frac {4}{3} + \frac {1}{2} – \frac {1}{6}= \)
El denominador común en estas fracciones es 6. Luego procedemos como hicimos anteriormente a dividir el denominador común con el denominador de cada fracción y multiplicarlo por su numerador, respetando siempre los signos de la operación.
\( \frac {4}{3} + \frac {1}{2} – \frac {1}{6}= \) \( \frac {8+3-1}{6} = \) \( \frac {10}{6}= \) \(\frac {5}{3} \)
Sumas y restas de fracciones: Método 2
Otra manera que tenemos de operar con sumas y restas de fracciones es la siguiente:
- Se busca el denominador común como se explica al principio de este post
- Se calcula mentalmente porque número tengo que multiplicar al denominador de mi fracción para llegar al número que obtuvimos en el denominador común. Ese número encontrado lo vamos a multiplicar por el numerador.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo de suma de fracciones por el método 2
\(\frac {1}{4} + \frac {2}{5} + \frac {2}{10}= \)
El denominador común es 20
Por lo tanto, el denominador de la primera fracción es 4, para llegar a 20 (que es el denominador común hay que multiplicar por 5), entonces al numerador lo tengo que multiplicar por dicho valor. Por la tanto en la segunda fracción al numerador lo multiplicaré por 4 y en la tercera por 2.
\(\frac {1}{4} + \frac {2}{5} + \frac {2}{10}= \) \( \frac {(1 \cdot 5) + (2 \cdot 4) + (10 \cdot 2)}{20}=\) \( \frac {5+8+20}{20}= \) \(\frac {33}{20} \)
Ejemplo de resta de fracciones por el método 2
\( \frac {7}{4} – \frac {1}{2}= \)
El denominador común es 4, por tanto aplicando lo que explicamos recién, buscamos porque número multiplicamos a los denominadores de cada fracción para llegar a 4 y ese número lo multiplicamos en el numerador correspondiente.
\( \frac {7}{4} – \frac {1}{2}= \) \( \frac {(7 \cdot 1) + (2 \cdot 2)}{4} = \) \( \frac {7+4}{4}= \) \( \frac {11}{4} \)
Para finalizar te compartimos nuestro vídeo tutorial del tema de nuestro canal de youtube
Ejemplo de sumas y restas de fracciones por el método 2
\( \frac {9}{3} – \frac{5}{12} + \frac {7}{4} = \)
El denominador común es 12. Por lo tanto, repetimos el procedimiento que hicimos en los dos ejemplos anteriores.
\( \frac {9}{3} – \frac{5}{12} + \frac {7}{4} = \) \( \frac {(9 \cdot 4) – (5 \cdot 1) + (7 \cdot 3)}{12}= \) \(\frac {36-5+21}{12}= \) \(\frac {52}{12}= \)
Simplificando por 4 queda \( \frac {13}{3}\)
Si quieres saber como operar con fracciones con sumas y restas te recomendamos ver esta explicación de un profe amigo nuestro.
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