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Las propiedades de la potencia en los números enteros

Definición de potenciación o potencia

¿Qué es la potenciación?. La potencia o potenciación es una forma abreviada de expresar una multiplicación de un mismo número que se repite dos o mas veces. En otras palabras significa multiplicar un número (la base) por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente. Su uso principal será entonces para simplificar multiplicaciones de un mismo numero. Veamos en detalle:

Partes de una potencia

Base: Es el número o factor que se va a repetir tantas veces como lo indique el exponente.

Exponente: Es el número que va a indicar la de veces que se debe multiplicar la base. Si no se escribe ningún exponente, implícitamente se entiende que está elevado a la 1. Por otro lado, si el exponente es 2 recibe el nombre “al cuadrado”, y si el exponente es 3, recibe el nombre “al cubo”.

Veamos algunos ejemplos de potencias:

\( 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 \) significa que el 2 lo multiplico 2 veces.

\( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \) significa que el 2 lo multiplico 3veces.

\( 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 \) significa que el 2 lo multiplico 4 veces.

\( 2^5= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 32 \) significa que el 2 lo multiplico 5 veces.

Potenciación con números negativos:
Lo mismo sucede para las situaciones donde la base es negativa, salvo que en estos casos hay que tener en cuenta la Ley o regla de los signos.

\( (-2)^2 = (-2) \cdot (-2 )= 4 \) significa que el (-2) lo multiplico 2 veces.

\( (-2)^3 = (-2) \cdot (-2)\cdot (-2) = -8 \) significa que el (-2) lo multiplico 3 veces.

\( (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \) significa que el (-2) lo multiplico 4 veces.

\( (-2)^5= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -32 \) significa que el (-2) lo multiplico 5 veces.

Es importante tener en cuenta que:

– Si la base es negativa y el exponente es par, por la ley de signos, el resultado será positivo.

– Si la base es negativa y el exponente es impar, por la ley de signos, el resultado será negativo.

Regla de los signos

Les dejamos un vídeo de nuestro canal de Youtube, donde se explica la Ley de los Signos.

En resumen:

Propiedades de las potencias

Propiedades de la potencia de números enteros y exponente positivo.

1. Todo número cuyo exponente es 0, su resultado es igual a 1, siempre y cuando la base sea disitinta a 0.
   
   \( 1^0 = 1 \)
   \( 2^0 = 1 \)
   \( 3^0= 1 \)
   \( 100^0 = 1 \)
   \( 1.254.247 ^0 = 1 \)
   
   Es decir que, cualquier número elevado elevado a la 0, dará siempre como resultado 1.
   
   
2. Todo número cuyo exponente es 1, el resultado será el mismo número.
   
   \( 0^1 = 0 \)
   \( 1^1 = 1 \)
   \( 2^1 = 2 \)
   \( 10^1 = 10 \)
   \( 4.257.014 ^{1} = 4.257.014 \)
   
   Es decir que cualquiera sea el número que lo eleve por 1, el resultado será siempre ese mismo numero.
   
   
3. La multiplicación de potencias con la misma base, es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
   
   \( 3^2 \cdot 3^3 = 3^ {(2+3)} = 2^5 = 243 \)
   \( 2^4 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{(4+2+3)} = 2^9 = 512 \)
   \( {-2}^{2} \cdot {-2}^{4} = {-2}^{(2+4)} = {-2}^{6} = 64 \)
   \( {-3}^{2} \cdot {-3}^{3} = {-3}^{(2+3)}= {-3}^{5} = -243 \)
   
   Es decir, que si se están multiplicando dos o más potencias que tienen igual base, el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente tiene la suma de todos los exponentes.
   
   
4. La división de potencias con la misma base, es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
   
   \( 8^{5}:8^{2} = 8^{(5-2)} = 8^3 = 512 \)
   \( 5^{8}:8^{4}:8^{2}=8^{(8-4-2)} = 5^{2} =25 \)
   \( {-2}^{5}:{-2}^{2}={-2}^{(5-2)} = {-2}^{3} = {-8} \)
   \( {-3}^{5}:{-3}^{3}={-3}^{(5-3)} = {-3}^{2} = {9} \)
   
   Es decir, que si están dividiendo dos o más potencias de igual base,el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente la resta de todos los exponentes.
   
   
   5. En el caso de que haya multiplicación y división de potencias de igual base, dará como resultado otra potencia de igual base, y cuyo exponente será la suma o resta de los mismos según corresponda.
   
   \( 3^{3} \cdot 3^{5} : 3^{4} = 3^{(3+5-4)} = 3^{4} = 81 \)
   \( 4^{4} \cdot 4^{2} : 4^{6} = 4^{(4+2-6)}= 4^{0} = 1 \)
   
   Es decir que se puede operar indistintamente con multiplicaciones y divisiones de igual base, siempre y cuando se respete la suma o resta, según corresponda.
   
   
5. En el caso que haya una potencia de una potencia, dará como resultado otra potencia, cuyo exponente será la multiplicación de los mismos.
   
   \( 2^{3^{2}} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64 \)
   \( 2^{2^{2^{3}}} = 2^{2\cdot 2 \cdot 3} = 2^{12} = 4096 \)
   
   Es decir que si tenemos un número elevado a una potencia, y que a su vez está elevado por otra potencia, el resultado será otra potencia que mantendrá la base, y que el exponente será la multiplicación de todos los exponentes.
   
   
6. En el caso que haya una multiplicación de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la multiplicación de las mismas.
   
   \( 2^{3}\cdot{5}^{3} = {(2\cdot5)}^{3} = {10}^{3} = 1000 \)
   \( {(-3)^{2}\cdot{2}^{2} = {((-3)\cdot{2})}^{2} = {(-6)}^{2}} = 36 \)
   \( {(-4)^{3}\cdot{2}^{3} = {((-4)\cdot{2})}^{8} = {(-8)}^{3}} = -512 \)
   \( (-3)^{4}\cdot{(-2)}^{4} = ((-3)\cdot(-2))^{4} = {6}^{4} = 1.296 \)
   
   Es decir que si tenemos dos potencias de igual exponente, multiplicamos sus bases y dejamos el mismo exponente.
   
   
7. En el caso que haya una división de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la división de las mismas.
   
   \( 8^2 : 4 ^2 = (8:4)^2 = 2^{2} = 4 \)
   \( (-18)^3 : 6^3 = ((-18):6)^3 = (-3)^3 =-27 \)
   \( 10^4 : (-5)^4 = ((10:(-5))^4 = 2^4 = 16 \)
   \( (-40)^4 : (-4)^4 = ((-40):(-4))^4 = 10^4 = 10.000 \)

Te dejamos un vídeo de nuestro canal de Youtube acerca de las propiedades de la potenciación.

Enlace relacionado

Propiedades de la radicación

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