Las 7 Propiedades de las raíces o propiedades de la radicacion

¿Qué es la radicación o raíz?

Como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación, la radicación es la operación inversa de la potenciación.

Para calcular una raíz primero conozcamos sus partes:

Por lo tanto, el resultado de una raíz (b) es un número, tal que elevado al índice (n) me de como resultado el radicando (a). Por ejemplo:

\( \sqrt[3]{8}= 2 \)
Porque
\( 2^3 = 8 \)

Veamos otro ejemplo:
\( \sqrt[3]{125}= \)

Entonces habrá que buscar un número que elevado a la 3 me de como resultado 125.

\( ?^3 = 125 \)

Y ese número es 5, porque \( 5^3 =125 \).
Entonces: \( \sqrt[3]{125}= 5 \)

Una simple aclaración: si una raíz tiene como índice 2 se leerá como “raíz cuadrada de…” y si el índice es 3 se leerá como “raíz cúbica de…”

Al igual que la potencia, existen propiedades de las raíces que son necesarias tener en cuenta a la hora de operar con ellas. A continuación las explicaremos a todas paso a paso.

Propiedades de la radicación

Recuerden revisar los nombres de cada parte de la operación de radicación para entender mejor cada propiedad, de todos modos con los ejemplos numéricos que daremos debajo de cada uno seguro también se entenderá.

1 La radicación de un número positivo en el radicando y que su índice sea par tiene dos resultados, uno positivo y el otro negativo.

Por ejemplo:
\( \sqrt[2]{16}= + 4 \)

\( \sqrt[2]{16}= – 4 \)

Luego:

\( \sqrt[2]{16}= |4| \) (es decir que se lo puedo expresar como valor absoluto).

Porque:
\( 4^2 = 16 \)
y \( (-4)^2 = 16 \)

2 La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática.

\( \sqrt[2]{-16}= \nexists \)

Porque:
\( 4^2 = 16 \)
y \( (-4)^2 = 16 \)

En ambas situaciones nunca el resultado va a dar negativo.

3 Si tengo una raíz con índice impar, el resultado tendra el mismo signo que el radicando

\( \sqrt [3] {64} = +4 \)
Porque \( +4^3 = 64 \)

\( \sqrt [3] {-64} = -4 \)
Porque \( (-4)^3 = -64 \)

4 La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división (siempre y cuando tengan el mismo índice)

Cómo distribuir las raíces con respecto a la multiplicación.

Si tengo una multiplicación dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

\( \sqrt [2] {4 \cdot 9}= \)
\( \sqrt [2] {36} = 6 \)

\( \sqrt [2] {4 \cdot 9}= \)
\( \sqrt [2] {4} \cdot \sqrt {9} = \)
\( 2 \cdot 3 = 6 \)

6 = 6 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Lo mismo puede servir si tenemos esta opción que a simple vista parecería que no se podría resolver con números enteros, pero observemos

\( \sqrt [3] {9} \cdot \sqrt [3] {3} = \)

pero aplicando esta propiedad la podemos “juntar” en una misma raíz (ya que tienen el mismo índice y ambas están multiplicando).

\( \sqrt [3] {3 \cdot 9} = \)
\( \sqrt [3] {27} = 3 \)

Y pudimos así resolver la situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

Cómo distribuir las raíces con respecto a la división.

Si tengo una división dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

\( \sqrt {64:4} \)
\( \sqrt {16} = 4 \)

\( \sqrt {64:4} \)
\( \sqrt {64} : \sqrt {4} = \)
\( 8 : 2 = 4 \)

4 = 4 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Como en el caso de la caso de la multiplicación nos es útil para situaciones que a priori parecería que no se pueden resolver con números enteros.

\( \sqrt {18} : \sqrt {2} = \)
\( \sqrt {18:2} = \)
\( \sqrt {9} = 3 \)

Y así pudimos resolver una situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

Veamos el poque.

\( \sqrt {9+16} = \sqrt {25} = 5 \)
\( \sqrt {9+16} = \sqrt {9} + \sqrt {16} = 3+4 = 7 \)
\( 5 \neq 7 \)

\( \sqrt {100-64} = \sqrt {36} = 6 \)
\( \sqrt {100-64} = \sqrt {100} – \sqrt {64} = 10 -6 = 4 \)
\( 6 \neq 4 \)

5 Raíz de otra raíz (raíz de raíz)

Si tenemos una raíz dentro de otra raíz el resultado será una nueva raíz donde el índice será la multiplicación de los índices.

\( \sqrt [3]{\sqrt [2]{64}} = \)
\( \sqrt [2 \cdot 3)] {64} = \)
\( \sqrt [6] {64} = 2 \)

6 Raíz elevada a un exponente

Si tenemos una raíz elevada a un a potencia el resultado será una nueva raíz donde ese exponente estará elevando al radicando.

\( (\sqrt [6] {64})^2 = \) \( 2^2 = 4 \)
\( \sqrt [6] {64^2} = \) \( \sqrt [6] {4096} = 4 \)

También se se pueden anular o simplificar los exponentes cancelándolos con los índices de las raíces, para hacer esto habrá que dividir el índice con el exponente, y ese resultado es el nuevo índice de la raíz.

\( (\sqrt [8] {256}) ^4 = \)
\( 2^4 =16 \)

\( (\sqrt [8] {256}) ^4 = \)
\( (\sqrt [(8:4)] {256} = \)
\( (\sqrt [2] {256} = 16 \)

\( 16 = 16 \)

Otro ejemplo:

\( \sqrt [4] {9^2} = \)
\( \sqrt [4:2] {9} = \)
\( \sqrt [2] {9} = 3 \)

7 Anulación de un raíz

Si tenemos un radicando que esta elevado a un número, y ese, es igual al índice se pueden anular y la raíz desparece.

\( \sqrt [5] {8^5} = 8 \)

El 5 del índice se anula con el 5 del exponente del radicando (desaparecen) y se elimina la raíz. Entonces queda como resultado 8.

Otro ejemplo: Existe también la posibilidad de que a un radicando lo podamos expresar como potencia (igualando el índice) y así después anularlos.

\( \sqrt [4] {16} = \sqrt [4] {2^4} = 2 \)

En este caso. a 16 lo expresamos como \( 2^4 \) y al ser el índice y la potencia del radicando iguales los pude anular y sacar la raíz.

Vídeo tutorial

Les compartimos un vídeo de nuestro canal de Youtube donde explicamos también este tema.

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