Los números enteros: Números positivos y negativos.

Se definen como números enteros a todos aquellos números, tanto positivos como negativos, incluido el cero, que no tienen decimales (es decir, que no tienen ningún número después de la coma).

{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}} — Los números enteros

Para poder diferenciar a los números positivos de los negativos, a los positivos se le asigna el signo “mas” delante del número, por ejemplo: +10; +74, etc., y a los negativos se le asigna el signo “menos” delante del número, por ejemplo: -25; -312.

Si a un número no se le pone ningún signo, por convención matemática, se asume que el mismo es positivo, es decir que implícitamente tendrá un signo “mas +” delante del mismo por más que no se escriba.

Usos de los números enteros positivos y negativos

Los números enteros son usados para innumerables situaciones cotidianas para expresar cantidades positivas, negativas o una cantidad nula (el cero). Acá les dejemos solo unos pocos ejemplos:

La necesidad de registrar datos con números por debajo del 0, por ejemplo las temperaturas -3ºC (tres grados bajo cero), -20 metros bajo el mar, etc.
Pasa lo mismo con los positivos, por ejemplo tiene +39ºC de fiebre, el agua hierve a +100ºC, Messi mide 170 cms.
Podemos decir que estamos en el segundo subsuelo o en el piso -2, o que una persona vive en el piso 11.
El partido salió 0 a 0. Es decir que no hubo goles.
El saldo en mi cuenta bancaria es de $10.000 o mi saldo en la cuenta es $-3.000 (es decir que le debo ese dinero al banco).
Y así podríamos encontrar infinitos ejemplos.

Ubicación de los en la recta numérica.

Si queremos ubicar a los mismos dentro de la recta numérica, los números enteros negativos se ubicarán a la izquierda del cero (0), y los números enteros positivos estarán a la derecha del mismo.

Características de los números enteros

Los números enteros tienen características que los representan, a saber:

No tienen números decimales (es decir que son números sin coma).
Lo integran todos los números enteros que van desde el menos infinito hasta el más infinito, incluyendo al 0.
El símbolo que los representa matemáticamente es la Z.
El número cero es el que divide a los números positivos de los negativos. Los mas grandes a 0 serán los positivos y los mas chicos los negativos.
En la recta numérica los positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.
Los números enteros nos permiten expresar mayores o menores cantidades con respecto a otro número entero.
Existen infinitos números enteros tanto positivos como negativos.
Con los números enteros podemos realizar operaciones matemáticas, con la salvedad que en algunos casos habrá que tener en cuenta la regla de los signos.

Signo matemático de los números enteros.

Es importante no confundir los signos matemáticos de la operación con los signos de los números enteros

Entonces una cosa es el valor del número con su signo + (si es positivo, por ejemplo +8) o si signo – (si es negativo, por ejemplo -5), y otra el signo matemático de la operación a realizar por ejemplo:

Por ejemplo:

-10 + (-4) = Es decir que a -10 le vamos a sumar – 4
+10 – (+4)= Es decir que a +10 le vamos a restar + 4

Como vieron en los ejemplos hay números que están dentro de un paréntesis. Esto sirve para diferenciar cual es el signo de la operación matemática, y cuál es el signo del número. Para poder suprimir ese paréntesis, se deberá proceder de la siguiente manera:

Si el signo que está delante del paréntesis es + (mas) elimino el paréntesis y el signo del número encerrado entre paréntesis no cambia.
Si el signo que está delante del paréntesis es – (menos) eliminó el paréntesis y el signo de número encerrado entre paréntesis cambia

Ejemplos de números enteros

Ejemplo 1: +8 + (-5) =

Como hay un + (mas) de operación matemática delante del número entre paréntesis (+5) lo que hago es eliminar el paréntesis que le sigue y dejo el número que estaba dentro con su mismo signo

8 – 5= 3

Ejemplo 2: -4 – (-6)=

Como hay un – (menos) de operración matemática delante del número entre paréntesis (-6), lo que hago es eliminar el paréntesis que le sigue y dejo el número que estaba dentro pero ahora con el signo cambiado

– 4 + 6 = 2

Operaciones de sumas y restas con números enteros

Ahora que ya sabemos sacar los paréntesis, lo que vamos a hacer es aprender a operar con números enteros, ya sean éstos positivos o negativos.

Veamos ahora las opciones que puedan suceder:

Que tengan en el mismo signo:
Que tengan distintos signos

Que tengan el mismo signo

Antes de empezar con la explicación con ejemplos de como se opera con los números enteros, es necesario conocer el concepto de valor absoluto.

El valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es el mismo número sin tener en cuenta su signo, es decir, ni positivo ni negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5, sin ser ni +5 ni -5. Otra forma de definirlo es como la distancia que existe entre ese número y el cero en la recta numérica.

Operaciones de sumas y restas de números enteros que tengan el mismo signo

Si esto sucede se suman sus valores y se mantiene el signo

Ejemplos

9 + 3 = 12 todos son positivos, por eso los sumo y el resultado queda con el signo mas +

-8 – 2= -10 todos son negativos, por eso los sumo y el resultado queda con el signo menos –

Operaciones con números positivos de sumas y restas de números enteros que tengan el distinto signo

Si esto sucede al número de mayor valor absoluto le resto el de menor valor absoluto, y al resultado que me da, le dejo el signo del número más grade en valor absoluto.

Ejemplos

+8 – 4

8 – 4 = 4 8 es el número más grande y 4 el más chico, entonces se resta el más grande con el mas chico 8-4= 4 y se deja el signo del más grande, que en éste ejemplo era +. (+8)

+9 – 12 =

+9 – 12 = -3 12 es el más grande y 9 el más chico, entonces restamos el más grade con el más chico, 12 – 9 = 3 , pero como el más grande era negativo (-12), el resultado será negativo – 3

Más ejemplos (un poquito mas complejos) de operaciones de sumas y restas

Ejemplo 1:

-(-15) + (+5)=

15 + (+5)= primero le sacamos el paréntesis al -15, como el signo que está fuera del paréntesis es -, cambiamos de signo al número que estaba dentro y por eso queda +15.

15 + 5 =20 ahora le sacamos el paréntesis al + 5, como el signo que estaba fuera del paréntesis es + se deja el mismo signo por eso queda +5.

Ejemplo 2:

+(-10) – (-6)=

–10 – (-6) como el signo que está delante del (-10), es +, se quita el paréntesis dejando el mismo signo que tenía el número, es decir -10.

-10 + 6 = -4 como el signo que es delante del (-6) es negativo, se cambia el signo del número que estaba dentro, por eso es +6.

La multiplicación y división con números enteros

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, y al resultado se le coloca el signo, según la ley de los signos. Con la división pasa lo mismo, pero teniendo en cuenta -en el caso de los números enteros – que la división siempre debe dar como resultado otro número entero, es decir ser exacta.

Ley de los signos o regla de los signos

Regla memotécnica: Si los dos signos son iguales, entonces el resultado es positivo, si los signos son distintos, el resultado será negativo.

En este vídeo de nuestro canal de Youtube se explica la ley de los signos.

Ejemplos de multiplicación

+3 . (+5) = +15 + . + = +

-5 . (-2) = +10 – . – = +

(-2) . (+6) = -12 – . + = –

+ 3 . (-4)= -12 + . – = –

Ejemplos de divisiones

+10 : (+2) = +5 + : + = +

-12 : (-6) = +2 – : – = –

(-20) : (+4) = -5 – : + = –

+18 : (-3)= -6 + : – = –

Para finalizar recomendamos ver el siguiente vídeo de canal Encuentro acerca de los números enteros.

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