Movimiento de varios tramos con MRU y MRUV: 2 ejemplos explicados.
Un repaso de MRU y MRUV
Muchas veces, los movimientos rectilíneos uniformes y uniformemente variados se combinan en un solo fenómeno que deben ser estudiados por tramos. Por ejemplo, cuando una persona se sube a un ómnibus o colectivo, éste comienza a moverse desde el reposo (es decir, presenta una velocidad inicial nula) y, luego de acelerar por unos segundos, comienza a transitar con velocidad constante hasta que se deba detener. La detención se produce con desaceleración constante.
Otro caso podría ser el de un móvil que avanza con velocidad constante hasta alcanzar un valor máximo. Luego, desciende bruscamente su velocidad hasta detenerse.
En forma gráfica, lo que estaría sucediendo en ambos ejemplos sería algo parecido a lo siguiente:
En estos casos, debemos estudiar nuestros movimientos en varios “tramos” o segmentos.
Análisis teórico de movimientos de varios tramos.
Es útil, con un lápiz, separar cada tramo desde el gráfico original. Nos quedarán los siguientes tramos para el caso del móvil del gráfico presentado antes.
El primer tramo debe ser estudiado de acuerdo con las fórmulas del MRUV (existe aceleración constante). En nuestro caso, este primer tramo va desde t=0s hasta t=1s.
El segundo tramo debe ser estudiado de acuerdo con las fórmulas del MRU (existe velocidad constante, aceleración nula). Algunas aclaraciones a tener en cuenta son que, en primer lugar, la posición inicial de las ecuaciones de este tramo es igual a la posición final de las ecuaciones del primer tramo. Lo mismo sucede con el tiempo: el tiempo inicial de las ecuaciones de este tramo es igual al tiempo final de las ecuaciones del primer tramo. Para nuestro ejemplo del móvil, el tiempo inicial es t=1s y finaliza en t=3s.
El tercer tramo (en el que el móvil se va deteniendo) debe ser estudiado con las fórmulas del MRUV (existe aceleración constante, de carácter negativo, pues el móvil se está parando). Nuevamente, la posición inicial de las ecuaciones de este tramo es igual a la posición final de las ecuaciones del segundo tramo. Lo mismo sucede con el tiempo: el tiempo inicial de las ecuaciones de este tramo es igual al tiempo final de las ecuaciones del segundo tramo. Para nuestro ejemplo del móvil, el tiempo inicial es t=3s y finaliza en t=4s.
Vemos que existe, en el gráfico, un cuarto tramo cuya velocidad es 0m/s. El tiempo inicial de las ecuaciones de este tramo es igual al tiempo final de las ecuaciones del tercer tramo. Asimismo, la posición inicial de las ecuaciones de este tramo es igual a la posición final de las ecuaciones del tercer tramo. Como puedes observar, como la velocidad es 0 m/s, no hay avance de posición este tramo.
Análisis práctico de movimientos de varios tramos.
Analicemos ahora qué pasa en cada tramo por separado, en términos de velocidad, posición y aceleración.
Cálculo de posición en cada tramo de un movimiento de varios tramos.
Tramo I
Para el tramo I, comenzamos con x=0m, ¿pero en qué posición finaliza? Podemos averiguarlo aplicando un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado.
Como es un MRUV, las fórmulas originales nos decían que:
(Ec. 1) \( x_f=x_i+v_i\cdot (t_f-t_i)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(t_f-t_i)^2\)
(Ec. 2) \( v_f=v_i+a\cdot (t_f-t_i)\)
Sabemos que tanto el tiempo inicial, como la posición y la velocidad inicial son cero, por lo que podemos reemplazar datos en la Ec. 1:
\( x_f=0m+0m/s\cdot (1s-0s)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(1s-0s)^2\)
Aquí nos surge un problema, ¿qué colocamos en “a“? ¿Cuál es la aceleración del sistema? Debemos recurrir a la Ec. 2 para poder hallarla y, luego, reemplazarlo en nuestra Ec 1:
\( 5 m/s=0m/s+a\cdot (1s-0s)\)
Despejamos la aceleración:
\( a=5m/s^2\)
Ahora sí, reemplazamos desde la Ec 1:
\( x_f=0m+0m/s\cdot (1s-0s)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(1s-0s)^2\)
\(x_f=0m+0m/s\cdot (1s-0s)+\frac{1}{2}\cdot 5 m/s^2\cdot(1s-0s)^2\)
\( x_f=2,50m\)
Esto significa que nuestro móvil ha recorrido 2,50 m en el lapso de 1s.
Tramo II
Por otro lado, es hora de analizar el tramo II, pero teniendo en cuenta que la posición inicial ya no será 0m sino 2,5m, es decir, la posición final del tramo I. Asimismo, el tiempo inicial será de 1 segundo, pues es el tiempo inicial del primer tramo.
Aplicando las ecuaciones del MRU, ya que hay velocidad constante, tenemos:
\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
\( x_f=2,50m+5m/s\cdot (3s-1s)\)
Observemos que el tiempo final es 3s (este dato lo obtenemos del gráfico) y el inicial es 1s.
\( x_f=12,5m\)
Si la posición final fue de 12,5m, significa que ha recorrido unos \( \Delta x=x_{f_2}-x_{f_1}=12,5 m – 2,50m=10m\) durante el tramo II (hemos calculado la diferencia entre la posición final del tramo II y la del tramo I). Esto se conoce como distancia recorrida y es un término del cual hablaremos más adelante.
Tramo III
Hagamos lo mismo que lo anterior para el tramo III.
Como es un MRUV, calculamos la aceleración usando los datos proporcionados por el gráfico y, con eso hallado, calculamos la posición final.
\( v_f=v_i+a\cdot (t_f-t_i)\)
\( 0m/s=5 m/s+a\cdot (4s-3s)\)
\( a=-5 m/s^2\)
Luego:
\( x_f=x_i+v_i\cdot (t_f-t_i)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(t_f-t_i)^2\)
\( x_f=12,5m+5m/s\cdot (4s-3s)+\frac{1}{2}\cdot (-5 m/s^2)\cdot(4s-3s)^2\)
\( x_f=15m\)
¿Te animas a calcular cuánto fue la distancia recorrida en el tramo III?
Tramo IV
Durante el tramo IV, no es necesario realizar cálculos porque vemos que la velocidad se mantuvo constante en 0m/s. Esto significa que el móvil no avanzó ni retrocedió entre los 5s y los 7s.
Finalmente, podemos dejar en claro que la posición final del móvil fue de 15m respecto del origen.
Cálculo de distancia recorrida por el móvil en un movimiento de varios tramos.
Existen varios métodos con los que podemos hallar distancias recorridas. Probaremos dos de ellas.
El método analítico consiste en sumar las distancias recorridas en cada tramo mediante el cálculo de las posiciones finales e iniciales de cada tramo. En particular, esto ya lo hemos hecho arriba en el ejemplo del móvil. Sólo basta poner sobre la mesa toda la información con la que contamos y, luego, sumar por tramo.
Para el tramo I:
La posición final fue de 2,50m y la inicial fue de 0m. Luego, \( \Delta x=x_f-x_i=2,50 m – 0 m = 2,50 m \)
Para el tramo II:
La posición final fue de 12,5 m y la inicial fue de 2,50m. Luego, \( \Delta x=x_f-x_i=12,5 m – 2,50 m = 10m \)
Para el tramo III:
La posición final fue de 15 m y la inicial fue de 12,5 m. Luego, \(\Delta x=x_f-x_i=15 m – 12,5 m = 2,50m \)
Para el tramo IV:
La posición final fue de 15m y la inicial también fue de 15m (no hubo cambio de posición) Luego, \( \Delta x=x_f-x_i=15 m – 15 m = 0m \)
Ahora, contamos con los siguientes datos:
Distancia recorrida en primer tramo: 2,50m
Distancia recorrida en segundo tramo: 10m
Distancia recorrida en tercer tramo: 2,50m
Distancia recorrida en cuarto tramo: 0m
Sólo es necesario sumar todos los datos:
Distancia recorrida total: \( \Delta x = 2,50 m + 10 m + 2,50 m + 0 m =15 m.\)
No es casualidad que nos haya dado igual que la posición final del recorrido, mas esto no tiene por qué ser siempre así, pues puede suceder que, en alguna parte del proceso, nuestro móvil retroceda. Este, como vemos en el gráfico al no notar velocidades negativas, no es el caso.
Cálculo de desplazamiento del móvil en un movimiento de varios tramos.
El método gráfico es mucho más sencillo y rápido. La idea es calcular las áreas o superficies de cada tramo directamente viendo el gráfico de la Fig. 2. Vemos que se forman figuras geométricas sencillas de analizar, tales como triángulos, rectángulos o cuadrados.
Tramo I
Para el tramo I, nos queda un triángulo como vemos en la figura 3. Si obtenemos el área de ese triángulo, obtenemos la distancia recorrida por el móvil.
Obtengamos el área de dicho tramo. Como sabemos, el área de un triángulo es \( A=\frac{b\cdot h}{2} \) En nuestra notación, A es el área; B, la base del triángulo y h es la altura del triángulo. La base corresponderá a la diferencia entre tiempo final y tiempo inicial para ese tramo. La altura corresponde a la diferencia entre la velocidad final y la velocidad inicial. Entonces:
\(A=\frac{b\cdot h}{2} \)
\(A=\frac{1s\cdot 5\frac{m}{s}}{2}=2,50m\)
Como era de esperarse, coincide con la posición final del primer tramo que ya habíamos calculado antes.
Tramo II:
Debemos obtener el área del rectángulo que observamos en la figura 4:
El área de un rectángulo es \( A = b \cdot h\). Nuevamente, hemos notado como b a la base y h a la altura. Conociendo esos datos del gráfico, operamos:
\( A = b \cdot h=(3s-1s)\cdot (5\frac{m}{s}-0\frac{m}{s})=2s\cdot 5\frac{m}{s}=10m \)Significa que en el tramo II ha recorrido 10 metros.
Tramo III:
Debemos obtener el área del rectángulo que observamos en la figura 5:
A=-2,50m
El área nos da negativo. En el tercer tramo, el movimiento es hacia la izquierda, ya que la velocidad inicial es hacia la derecha y la velocidad final es cero. La distancia recorrida en este tramo es 2,5 metros, pero en dirección opuesta al movimiento en el primer tramo, por lo que el desplazamiento en este tramo debía darnos negativo, tal como nos dio.
Tramo IV:
No es necesario obtener el área de este tramo, pues es evidente que no hubo cambio de posición, ya que la velocidad fue de 0 m/s a lo largo de los dos segundos que duró el tramo.
Por último, sumamos todos los desplazamientos (áreas) de cada tramo:
\( 2,50m+10m+(-2,50m)+0=10m \)¿Sencillo, verdad?
Gráficos de posición vs. tiempo: x(t)
Observemos el siguiente gráfico de un móvil, en el que observamos cómo evoluciona la posición del mismo a través del tiempo en varios tramos:
Si quisiéramos, a grandes rasgos, ver gráficamente cómo se comporta la posición, la velocidad y la aceleración en este movimiento, debemos analizar cada tramo, ya que como presenta varios tramos podemos separarlos tal cual hicimos antes.
En la Figura 5, vemos que, para el primer tramo, la posición forma una función cuadrática, pues es una función de segundo grado (con aceleración constante positiva). ¿Sabes por qué? Te recomendamos este artículo de ensambledeideas.com en donde se explica cómo analizar gráficos de MRU y MRUV. Sin embargo, ¡tranquilo! Volveremos a cómo identificar cada caso en los párrafos siguientes.
En el segundo tramo, la posición forma una función lineal creciente, pues la velocidad es constante.
En el tercer tramo, la posición es una función lineal, nuevamente (por lo que forma una recta decreciente), sólo que la velocidad es negativa.
Si te perdiste en cómo darte cuenta cuándo las velocidades son positivas o negativas, cuándo las aceleraciones son positivas o negativas, etc., te dejamos un pequeño resumen de cómo se interpreta cada gráfico:
Gráficos de velocidad vs. tiempo: v(t)
En la Fig. 6, observamos que, para el primer tramo, la velocidad forma una función lineal creciente, pues la aceleración es constante. En el segundo tramo, la velocidad forma una función lineal constante, es decir, el valor de la velocidad se mantiene igual durante el lapso de tiempo. Es positiva, pues nuestro móvil aumentaba su posición conforme pasaba el tiempo, de acuerdo a lo que vemos en la Fig. 5. Por último, en el tercer tramo, la velocidad es una función lineal constante, pero negativa, porque el móvil iba presentando una posición cada vez menor.
Gráficos de aceleración vs. tiempo: v(t)
En la Fig. 7, el que corresponde a aceleración en función del tiempo en este movimiento de varios tramos, vemos que, para el primer tramo, la misma forma una función lineal constante y positiva. Esto es así pues el objeto se movía con aceleración constante en un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV). Recordemos que notamos eso debido a que la función que describía el móvil era cuadrática en el primer tramo de la Fig. 5. En cambio, la aceleración es nula para el segundo tramo (pues es un MRU) y lo mismo para el tercer tramo (también es un MRU).
Ejemplo 2:
Pensemos juntos un segundo ejemplo.
Un móvil parte del reposo con aceleración constante y, a los 10 segundos, continúa el recorrido con velocidad constante. 20 segundos más tarde, el móvil habrá recorrido 375 m desde que inició el movimiento, tal como se muestra en la figura a continuación. A) ¿Cuál es la aceleración que tuvo el móvil al iniciar el movimiento? B) ¿Cuál es la aceleración que tuvo el móvil al finalizar el recorrido? C) ¿A qué distancia del principio el móvil comenzó a tener velocidad constante?
Por el enunciado, podemos asegurar que, durante el primer tramo, el móvil presentó un Movimiento Rectilíneo Uniformente Variado (MRUV) pues la aceleración -que deberemos hallar- es constante. En el segundo tramo, presentó un Movimiento Rectilíneo Uniforme, pues la velocidad es constante. Con sólo esta información, estamos en condiciones de afirmar que:
LA ACELERACIÓN EN EL SEGUNDO TRAMO VALE CERO (pues la velocidad es constante).
Esto contesta la pregunta B. ¿Pero acaso no debemos responder primero la A? No está de más dar un rápido vistazo de la información con la que contábamos sin hacer grandes cuentas y, de acuerdo con el enunciado, ya podíamos afirmar que la aceleración que tuvo el móvil al finalizar el recorrido era nula.
Continuemos con lo más complicado. Para ello, es hora de poner sobre la mesa todas las ecuaciones con las que contamos para cada tramo, que llamaremos tramo I y tramo II.
Tramo I:
Como es un MRUV, las fórmulas originales nos decían que:
(Ec. 1) \(x_f=x_i+v_i\cdot (t_f-t_i)+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(t_f-t_i)^2\)
(Ec. 2) \( v_f=v_i+a\cdot (t_f-t_i)\)
Tramo II:
Como es un MRU, las fórmulas originales nos decía que:
(Ec. 3)\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
(Ec. 4) \( v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}\)
Continuemos con analizar los datos que nos ofrece el enunciado:
ANÁLISIS DE DATOS:
Para el tramo I:
\( v_i=0\)\( v_f=?\)\(x_i=0\)\( x_f=?\)\( a=?\)\( t_i=0\)\( t_f=10seg\)Para el tramo II (Quizás sea importante que leas las notas al pie):
\( v =?\) Esta velocidad, que es constante, es la misma que \( v_f\) del tramo I.
\(x_i=?\) Esta posición inicial es la misma que \( x_f\) del tramo I. Esto será muy importante para la resolución de este tipo de ejercicios.
\( x_f=375m\)\( t_i=10seg\)\( t_f=30seg\) Hemos colocado que \( t_f=30seg\) pues el enunciado expresa: “Un móvil parte del reposo con aceleración constante y, a los 10 segundos, continúa el recorrido con velocidad constante. 20 segundos más tarde, el móvil habrá recorrido 375 m desde que inició el movimiento”. Por lo resaltado, podemos asegurar que el movimiento total duró 30 segundos.
REEMPLAZO DE DATOS EN EC.1, EC. 2, EC. 3 Y EC. 4:
Con los datos anteriores, reemplacemos en las cuatro diferentes ecuaciones los valores que tenemos:
Tramo I:
(Ec. 1) \( x_f=0+0+\frac{1}{2}\cdot a\cdot(10seg-0)^2\)
(Ec. 2) \( v_f=0+a\cdot (10seg-0)\)
Tramo II:
Como es un MRU, las fórmulas originales nos decía que:
(Ec. 3) \( 375m=x_i+v\cdot (30seg-10seg)\)
(Ec. 4) \( v=\frac{375m-x_i}{30seg-10seg}\)
Realizando las cuentas pertinentes, concluimos que:
Tramo I:
(Ec. 5) \( x_f=\frac{1}{2}\cdot a\cdot(10seg)^2\)
(Ec. 6) \( v_f=a\cdot (10seg)\)
Tramo II:
(Ec. 7) \( 375m=x_i+v\cdot (20seg)\)
(Ec. 8) \( v=\frac{375m-x_i}{20seg}\)
PLANTEO DE LA RESOLUCIÓN
Analicemos teóricamente lo que debemos hacer. En primer lugar, debemos darnos cuenta que la posición final del primer tramo es la posición inicial del segundo tramo. Entonces, tengamos presente la Ec. 5 y la ec. 7. En ellas, justamente nos aparece \( x_f\) del tramo I y \( x_i\) del tramo II. Para poder utilizar correctamente la Ec. 7, debemos primero despejar \( x_i\), según:
(Ec. 9) \( x_i=375m-v\cdot (20seg)\)
Una vez hecho esto, será cuestión de igualar la Ec. 5 y la Ec. 9:
(Ec. 10) \( \frac{1}{2}\cdot a\cdot(10seg)^2=375m-v\cdot (20seg)\)
Vemos que es una única ecuación que tiene como incógnita a a y a v. Pero si prestamos atención, vemos que la Ec. 6 nos dice que \( v_f=a\cdot (10seg)\). Esta \(x v_f\) del tramo I es la velocidad que se mantendrá constante en el tramo II, por lo que podemos reemplazar la Ec. 6 en la Ec. 10:
(Ec. 10) \( \frac{1}{2}\cdot a\cdot(10seg)^2=375m-a\cdot (10seg)\cdot (20seg)\)
Luego:
\( a=1,5\frac{m}{s^2}\)Y así hallamos que la aceleración vale 1,5 m/s2 en el primer tramo.
Actividades con respuesta
Puedes ver las respuestas de cada uno expandiendo la flecha en cada ejercicio.
1. Un coche parte del reposo y comienza a moverse en línea recta con una aceleración constante de 2 m/s² durante 10 segundos. Luego, mantiene una velocidad constante de 20 m/s durante 30 segundos. Finalmente, reduce su velocidad uniformemente hasta detenerse en 10 segundos. Calcula:
a) La velocidad del coche al final de cada tramo. [expand] La velocidad del coche al final de cada tramo es de 20 m/s, 20 m/s y 0 m/s respectivamente. [/expand]
b) La distancia total recorrida por el coche. [expand] La distancia total recorrida por el coche es de 100 m + 600 m + 100 m = 800 m. [/expand]
c) Grafica x(t), v(t) y a(t) para el movimiento completo.
2.
Un ciclista parte del reposo y comienza a pedalear en línea recta con una aceleración constante de 3 m/s² durante 8 segundos. Luego, mantiene una velocidad constante de 15 m/s durante 20 segundos. Finalmente, reduce su velocidad uniformemente hasta detenerse en 12 segundos. Calcula:
a) La velocidad del ciclista al final de cada tramo. [expand]La velocidad del ciclista al final de cada tramo es de 24 m/s, 15 m/s y 3 m/s, respectivamente. [/expand]
b) La distancia total recorrida por el ciclista. [expand] La distancia total recorrida por el ciclista es de 96 m + 300 m + 108 m = 504 m. [/expand]
c) Grafica x(t), v(t) y a(t) para el movimiento completo.
Más información
Puedes visitar https://www.physicsclassroom.com/Class/1DKin/u1l1a.cfm
En la sección “Kinematics” (Cinemática) de la página, encontrarás contenido confiable sobre los temas de MRU y MRUV, con explicaciones, ejemplos resueltos y simulaciones interactivas para ayudarte a entender mejor los conceptos y desarrollar habilidades de resolución de problemas.
Además, también puedes encontrar en la página una sección sobre Laboratorio Virtual, donde se realizan simulaciones que puedes ejecutar en línea para entender conceptos y fenómenos físicos de manera más efectiva.