Matemáticas. – Página 2 – Ensamble de Ideas

May 9 2023

La sucesión de Fibonacci: maravillados desde el año 1202.

Introducción

El presente informe girará en torno a la biografía, logros y obras de Leonardo de Pisa (Leonardo Bigollo), mejor conocido como Fibonacci, el gran matemático italiano famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado y por idear la Sucesión de Fibonacci, de importantísimo uso en las ciencias de la computación y de vital relevancia en la comprensión de caracteres biológicos y en el análisis matemático.

▲ Leonardo Bigollo (1170-1250), mejor conocido como Fibonacci.

¿Quién fue Fibonacci?

Para comenzar, es necesario describir algunos aspectos de su biografía. Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, también llamado Fibonacci, nació en 1170 y falleció en el año 1250. Recibió el seudónimo de Fibonacci debido a que el apodo de su padre, Guillermo, era Bonacci. Así, Leonardo recibió el apodo por fillius Bonacci. Su padre dirigía un puesto de comercio en Bugía, hacia el norte africano. Fibonacci viajó hasta esta ciudad argelina para ayudarlo y allí logró aprender el sistema de numeración árabe que luego difundiría en Europa, implementando la notación posicional (es decir, de base 10 o “decimal”) y un dígito de valor nulo (el cero).

Conciente de la superioridad de la numeración árabe, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo como aprendiz de los mejores y más renombrados matemáticos árabes de la época. Analizaremos con detalle los más importantes legados que sus libros nos han dejado.

En 1202, cuando Fibonacci tenía 32 años, escribe “Liber Abaci”. Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculos, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones.

El libro fue revisado y aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo en especial está íntegramente dedicado a las funciones graduales; es decir, Fibonacci deja en claro que para todo a_n, se cumple la siguiente sumatoria:

En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos numéricos abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos.

Todas las fracciones se presentan a la manera egipcia, o sea, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción 2/3, que no se descompone, no por razones aritméticas, sino por razones filosóficas-religiosas.

En “Practica Geometriae” aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es, sin duda, la obra más avanzada en su tipo que se encontraba en la época en Occidente.

En “Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium” se abordan quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de ellos habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II.

También de él hallamos “Carta a Teodoro”. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el “Liber Quadratorum” al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométrico-algebraico. Trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y los otros dos sobre los restantes de éste. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal.

“Liber Quadratorum” es el último gran aporte a la matemática. Consta de veinte proposiciones. Éstas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro.

A continuación, se analizará la más grande razón por la cual Leonardo es conocido: la renombrada Sucesión de Fibonacci.

Para comenzar, se dirá que la sucesión que ideó Fibonacci es:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…

La sucesión inicia con 0 y 1. Luego, cada elemento es el resultado de los dos anteriores.

Su gráfica, hasta f(10), es la siguiente:

Su fórmula general es:

Sus aplicaciones van desde ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, hasta en biología y arquitectura. Más adelante se detallarán sus usos y dónde se encuentran.

El número áureo

En 1753, Robert Simson descubrió que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos f_n+1/f_n se acerca a la relación áurea φ cuanto más se acerque a infinito, siendo:

Este número es importantísimo. Se puede hallar en diversas estructuras y cuerpos. Algunos ejemplos son:

El cociente entre la altura de un humano y la distancia del ombligo a la mano es igual a φ. El cociente entre la longitud de un brazo y la distancia del codo a la punta del dedo medio es φ. La relación entre los falanges de los dedos es el número áureo. La relación entre la longitud de la cabeza y su anchura también es φ.

Ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 u 89. Las “hojas” de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, números Fibonacci, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.

Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.

Se puede construir una serie de rectángulos usando los números de esta sucesión. Se empieza con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Se construye uno igual sobre él, obteniendo un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2×1. Sobre el lado de dos unidades, se construye un cuadrado y se obtiene un nuevo rectángulo de 3×2. Sobre el lado mayor se construye otro cuadrado, obteniendo un rectángulo de 5×3. Luego uno de 5×8, 8×13, 13×21… Cuanto más se avance, se aproximará más al rectángulo áureo. Si se unen los vértices de cada uno de estos rectángulos, se va formando una curva llamada “Espiral de Durero”, espiral que está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes, etc.

La sucesión de Fibonacci en la naturaleza

Las relaciones pueden hallarse también en las espirales de las galaxias. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo la Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.

En arte, es posible ver que el “Hombre de Vitrubio”, el rostro de la Gioconda y la “Última Cena” están diseñados utilizando la proporción áurea; e incluso que el propio Partenón fue creado en base al número de oro. Se emplea en marketing para hacer más agradables a la vista determinados productos, como las cajas de cigarrillos.

Por último, es importante mencionar que los libros donde Fibonacci presenta sus estudios utilizan demostraciones del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades (por ejemplo, en “Liber Abaci”). Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la incompletitud de algunas demostraciones.

Conclusión

En conclusión, se puede decir que Fibonacci, obviamente sin saberlo, había hallado la llave de las relaciones entre la naturaleza misma y las matemáticas. Se dan por finalizados aquí los detalles, problemas y asombrosas cuestiones relacionadas con el fascinante mundo que Leonardo supo ver en aquellos siglos tan tempranos para las ciencias exactas, analizando lo sabido por los matemáticos indios, quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos.

Por esta razón, sus libros son un gran aporte a la historia de la matemática y deben ser estudiados para comprender los enormes avances que conllevan.

Hernan Gomez 0 Comments

Nov 7 2022

Tasa Efectiva Anual: Aprende a calcularla y ahorra dinero

La Tasa Efectiva Anual, más conocida por sus siglas T.E.A., es uno de los términos más comunes, importantes y utilizados en el ámbito de las finanzas. La mayoría de las operaciones financieras que implican el uso de tasas de interés emplean este sistema, por lo que es fundamental entender de qué se trata y cómo se calcula. En este artículo de Ensamble de Ideas, te ayudaremos a comprenderlo.

¿Qué es la tasa efectiva anual (T.E.A.)?

Es aquel interés porcentual que efectivamente se cobró en un año (en el caso de una inversión) o que se pagó (en el caso de un préstamo) al haber capitalizado todos los intereses en dicho período de tiempo.

Por lo tanto, la tasa efectiva anual, es un indicador real del costo en intereses de una operación que se cobra en un año.

Tasa efectiva mensual (T.E.M.)

Por lo tanto, otro de los términos muy utilizados financieramente es la T.E.M., que tendrá el mismo concepto, pero en este caso la capitalización de intereses será mensual en vez de anual.

Pero seguramente, si no estás muy al tanto de la terminología financiera, tu pregunta sería: ¿Qué significa capitalizar intereses?

Capitalización de intereses

Son los intereses en dinero que se agregan al capital que fue puesto a trabajar en la operación financiera. Es decir la suma del capital inicial u original más los intereses producidos.

Capitalización = Co + I
_{Co: Capital original I: Interés producido}

De más está decir que esta capitalización de intereses no debe incluir de ninguna manera otros gastos que puedan existir en la operación financiera (por ejemplo: comisiones, gastos de otorgamiento, etc.).

¿Por qué es importante saber que es la Tasa Efectiva Anual?

Entender que es la T.E.A. es fundamental, ya que es la forma más usual de calcular los intereses en las operaciones financieras como prestamos, ventas en cuotas o inversiones, y conocerla nos permitirá analizar mejor las opciones que tenemos y así tomar decisiones financieras más sabias.

¡Pero atención! Hay otros dos términos financieros que son parecidos y que suelen prestar a confusión y que son importantes comprenderlos y así entender mejor “la letra chica” cuando nos ofrecen la financiación con T.E.A. Estos términos son: La tasa nominal anual (T.N.A.) y el costo financiero total (C.F.T.)

Tasa Nominal Anual (TNA)

La TNA nos indicará una referencia de interés sin que existan capitalizaciones entre medio, es como si fuera un interés simple, es decir que la totalidad de los intereses se pagan (o cobran) al finalizar todo el período. Pero esto en realidad rara vez es así ya que casi siempre se aplican capitalizaciones entre medio.

Puedes leer también nuestro post sobre:
Cómo calcular el interés simple

Costo Total Financiado (C.F.T.)

Otro de lo términos que suele aparecer en las “letras chicas”, es el CFT., y este es importantísimo mirarlo y compararlo.

Generalmente las instituciones financieras no solo cobran intereses, sino que además incluyen otros gastos como los de otorgamiento, comisiones, seguros, etc. Por lo tanto el costo financiero total incluirá no sólo los intereses, sino que también añadirá estos gastos recién mencionados.

Entonces, a la hora de comparar operaciones financieras, será más importante mirar el CFT que otros datos, ya que el mismo nos muestra cuánto nos va a costar realmente la operación financiera a realizar.

C.F.T= T.E.A. + Comisiones + gastos

¿Cómo calcular la tasa efectiva anual?

Retomemos el concepto de tasa efectiva, que es la tasa de interés que capitalizada una solo vez en el período nos da un monto igual al que se obtiene capitalizando subperiódicamente. Por lo tanto deberá usarse una tasa algo mayor a la que se utilizaría por interés simple (o la tasa nominal).

Entonces para calcular la tasa efectiva deberemos usar la siguiente fórmula:

$ i’=(1+\frac{i}{m})^{m}-1 $

Ejemplo

Calcular la tasa efectiva correspondiente a la nominal anual del 12% que se capitaliza trimestralmente

m=4 porque en año hay cuatro trimestres.
i=0.12 recordemos que “i” es la tasa nominal y que sale de dividir el porcentaje por 100.
i´= ? i´es la tasa efectiva que es lo que quiero buscar.

Reemplazo en la fórmula
$ i’=(1+\frac{i}{m})^{m}-1 $

$ i’=(1+\frac{0.12}{4})^{4}-1 $

$ i’=(1+0.03)^{4}-1 $

$ i’=(1.03)^{4}-1 $

$ i’=1.125508 -1 $

$ i’=0.1255 $

$ i’=0.1255 * 100 = 12.55%$

Rta: La TEA es del 12,55%

Veamos otro ejemplo: Calcular la TEA correspondiente a la TNA del 36,3% si se capitaliza mensualmente

m=12 porque en año hay doce meses (la capitalización se hace una vez por mes.
i=0.364 recordemos que “i” es la tasa nominal y que sale de dividir el porcentaje por 100.
i´= ? i´es la tasa efectiva que es lo que quiero buscar.

Reemplazamos los datos en la fórmula:

$ i’=(1+\frac{i}{m})^{m}-1 $

$ i’=(1+\frac{0.364}{12})^{12}-1 $

$ i’=(1+0.0303)^{12}-1 $

$ i’=(1.0303)^{12}-1 $

$ i’=1.431307 -1 $

$ i’=0.431307 $

$ i’=0.43107 /cdot 100 = 43.13%$

Rta: TEA es del 43.13%

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Abr 5 2021

Sumas y restas de fracciones con distinto denominador e igual denominador.

¿Qué son las fracciones?

Las fracciones son números que muestran como un todo (un entero) puede ser divido en partes iguales y que proporción de esas partes iguales se están usando. Por ejemplo 1/4, significa que, al entero lo dividimos en 4 partes, y que en caso utilizamos 1 de esas 4 partes.

sumas y restas de fraccciones — Sumas y restas de fracciones

En otras palabras, una fracción es una cantidad dividida por otra cantidad, por lo tanto, representa una división no efectuada y puede tomárselo de esa manera para operar y simplificar cuentas.

Recordemos que las fracciones están compuestas por dos números separados por una raya llamada “raya fraccionaria”. La parte superior de las fracciones recibe el nombre de “numerador“, mientras que la inferior se llama “denominador“. Recordemos también, que este último, se lee como un número partitivo, es decir: $\frac{1}{2} $ (un medio); $\frac{1}{3} $ (un tercio); $ \frac{2}{5} $ (dos quintos); etc.

suma y resta de fracciones — Suma y resta de fracciones – Las partes de una fracción.

Operaciones de sumas y restas de fracciones

Ahora que ya recordamos rápidamente que eran las fracciones, vamos a ver ahora, como operar con sumas y restas de fracciones. Primero lo veremos en la situación que tengan el mismo denominador

Sumas y restas de fracciones con mismo denominador

Por ejemplo tenemos la siguiente operación

$\frac{3}{10} + \frac{1}{10}= $

Al tener el mismo denominador, lo que vamos a hacer es repetir el denominador y sumar los numeradores.

$\frac{3}{10} + \frac{1}{10}= \frac{3+1}{10} = \frac {4}{10} = simplificando \frac{2}{5} $

Recordemos que simplificar era dividir a una fracción por un mismo número. En este caso a $ \frac {4}{10}$ dividimos tanto numerador y denominador por 2, por eso nos quedó como resultado $\frac{2}{5} $.

Para restar hacemos los mismo, dejamos el mismo denominador y restamos los numeradores.

$ \frac{9}{4} – \frac {6}{4} = \frac {9-6}{4} = \frac{3}{4} $

Suma y resta de fracciones con distinto denominador

También puede ser que tengamos que hacer sumas y restas de fracciones con distinto denominador, es decir, que los números de abajo son distintos. Para ello vamos a ver distintas maneras de hacerlo, por cualquier camino llegaremos al mismo resultado, podrás elegir entonces cuál te resulta más sencillo de utilizar.

Supongamos que tenemos la siguiente operación: $ \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=$

Si tenemos tenemos operaciones en donde los denominadores son distintos (en nuestro caso 2 y 5), lo que habrá que hacer es encontrar lo que se llama denominador común. En otras palabras encontrar un número que podamos dividir tanto por 2 como al mismo tiempo por 5. Conocer los criterios de divisibilidad puede ser muy útil para tal fin.

La primera opción es intentar sacarla mentalmente, muchas veces, y a medida que vamos adquiriendo más experiencia nos resultará fácil poder encontrar ese número, pero no de ser así, no se preocupen, hay otros métodos o formas para poder hallarlo.

Suma y resta de fracciones: Método 1

Una segunda opción, es hacer escribir las tablas de los denominadores con los que estamos trabajando y buscar cual es el primer número que se repite:

Tabla del 2: 2 – 4 -6 -8 -10 – 12 -14 -16 – 18 -20
Tabla del 3: 3 -6 -9 – 12 – 15 -18 -21 -24 – 27 – 30
Tabla del 4: 4 -8 –12 – 16 – 20 – 24 – 28- 32 -36 – 40

Si analizamos las tres tablas y buscamos cuál es el primer número que se repite en todas es el 12. Ese será el denominador común.

Si esta opción te resulta un poco larga o no tienes ganas de ponerte a escribir las tablas y encontrar el número tienes una tercera opción. Multiplicar todos los denominadores. En nuestro ejemplo será $ 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $. La contra que tendrás de hacerlo por este método es que probablemente te de como resultado un número grande, que luego lo tengas que simplificar. Aún así tienes tres maneras de poder hallarlo. Usa la que te resulte más fácil.

Una vez que hayamos el denominador común. En nuestro ejemplo será 12 (de todas maneras más adelante se resolverá por 24 -por si alguno le resulta más fácil encontrar el denominador común por el método de multiplicar), empezaremos a resolver la sumas y restas de fracciones. Para ello tenemos cuatro maneras de resolverlo.

Ejemplo de suma de fracciones por el método 1

$ \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=$ recordemos que el denominador común que calculamos es 12, así que lo escribimos, (por ahora sólo)

$ \frac { }{12} $

Lo primero que vamos hacer es dividir el denominador común (12) por el denominador de la primera fracción (2) y al resultado lo vamos a multiplicar por el numerador de la primera fracción (1). La cuenta sería entonces:

$ 12/2 =6 $
y luego se hace $ 6 \cdot 1 =6 $. Ese resultado lo anotamos en el numerador.

Se repite, así con la segunda fracción: $ 12/3 =4 $
y luego$ 4 \cdot 2 = 8 $. Ese resultado lo anotamos en el numerador.

Y con la tercera fracción lo mismo. $ 12/4 =3 $
y luego $3 \cdot 3 =9 $. Ese resultado lo anotamos en el numerador.
.
La cuenta debería quedar expresada de la siguiente manera:

$ \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=$ $ \frac {6+8+9}{12} $ = $\frac{23}{12}$

¿Cómo sería la operación si hubiese elegido la opción de multiplicar los denominadores y el mismo sería 24 como calculamos mas arriba?. Haciendo el mismo procedimiento de dividir el denominador y luego multiplicar por el numerador, quedaría así:

$ \frac {1}{2} + \frac {2}{3} + \frac {3}{4}=$ $ \frac {12+16+18}{24}=$ $\frac {46}{24}$

Simplificando por 2 queda $\frac {23}{12}$

Ejemplo de resta de fracciones por el método 1

$ \frac {5}{6} – \frac {1}{3}=$

Buscamos el denominador común por alguno de los métodos anteriormente explicados, en este caso será 6 y procedemos a realizar las operación dividiendo el denominador común por el denominador de la fracción en cuestión y multiplicando por su numerador. Por lo tanto

$ \frac {5}{6} – \frac {1}{3}=$ $ \frac {5 – 2}{6}= $ = $ \frac {3}{6}=$ $\frac {1}{2} $

Ejemplo de sumas y restas de fracciones por el método 1

Acá tenemos que proceder de la misma manera teniendo especial cuidado de respetar el orden y los signos de la cuenta presentada.

$ \frac {4}{3} + \frac {1}{2} – \frac {1}{6}= $

El denominador común en estas fracciones es 6. Luego procedemos como hicimos anteriormente a dividir el denominador común con el denominador de cada fracción y multiplicarlo por su numerador, respetando siempre los signos de la operación.

$ \frac {4}{3} + \frac {1}{2} – \frac {1}{6}= $ $ \frac {8+3-1}{6} = $ $ \frac {10}{6}= $ $\frac {5}{3} $

Sumas y restas de fracciones: Método 2

Otra manera que tenemos de operar con sumas y restas de fracciones es la siguiente:

Se busca el denominador común como se explica al principio de este post
Se calcula mentalmente porque número tengo que multiplicar al denominador de mi fracción para llegar al número que obtuvimos en el denominador común. Ese número encontrado lo vamos a multiplicar por el numerador.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo de suma de fracciones por el método 2

$\frac {1}{4} + \frac {2}{5} + \frac {2}{10}= $
El denominador común es 20

Por lo tanto, el denominador de la primera fracción es 4, para llegar a 20 (que es el denominador común hay que multiplicar por 5), entonces al numerador lo tengo que multiplicar por dicho valor. Por la tanto en la segunda fracción al numerador lo multiplicaré por 4 y en la tercera por 2.

$\frac {1}{4} + \frac {2}{5} + \frac {2}{10}= $ $ \frac {(1 \cdot 5) + (2 \cdot 4) + (10 \cdot 2)}{20}=$ $ \frac {5+8+20}{20}= $ $\frac {33}{20} $

Ejemplo de resta de fracciones por el método 2

$ \frac {7}{4} – \frac {1}{2}= $
El denominador común es 4, por tanto aplicando lo que explicamos recién, buscamos porque número multiplicamos a los denominadores de cada fracción para llegar a 4 y ese número lo multiplicamos en el numerador correspondiente.

$ \frac {7}{4} – \frac {1}{2}= $ $ \frac {(7 \cdot 1) + (2 \cdot 2)}{4} = $ $ \frac {7+4}{4}= $ $ \frac {11}{4} $

Para finalizar te compartimos nuestro vídeo tutorial del tema de nuestro canal de youtube

Ejemplo de sumas y restas de fracciones por el método 2

$ \frac {9}{3} – \frac{5}{12} + \frac {7}{4} = $
El denominador común es 12. Por lo tanto, repetimos el procedimiento que hicimos en los dos ejemplos anteriores.

$ \frac {9}{3} – \frac{5}{12} + \frac {7}{4} = $ $ \frac {(9 \cdot 4) – (5 \cdot 1) + (7 \cdot 3)}{12}= $ $\frac {36-5+21}{12}= $ $\frac {52}{12}= $

Simplificando por 4 queda $ \frac {13}{3}$

Si quieres saber como operar con fracciones con sumas y restas te recomendamos ver esta explicación de un profe amigo nuestro.

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Sumas y restas de fracciones – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXI

Julián Spadaro 0 Comments

Mar 13 2021

Los criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad del 2 al 12

criterios de divisibilidad
reglas de divisibilidad

Aritmética Imágenes - Descarga imágenes gratis - Pixabay — Criterios de divisibilidad – Reglas de divisibilidad

¿Qué son los criterios de divisibilidad?

Los criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad son los que nos permiten saber si un número es divisible por otro y que el resultado nos de un número entero. Entonces conocer estas reglas de divisibilidad será muy útil ya que las podremos utilizar para:

Saber si la división de un número por otro nos dará como resultado un número entero.
Para descomponer números y aplicar MCM (Mínimo Común Múltiplo) y DCM (Divisor Común Máximo).
Reducir o simplificar fracciones.

Reglas de divisibilidad del 2 al 12

Números divisibles por 2

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 2

Un número será divisible por 2 siempre que termine en un número par, es decir 0,2,4,6, u 8. Por lo tanto

2.358 es divisible por 2 porque termina en 8 que es un número par.
12.322 es divisible por 2 porque termina en 2 que es un número par.
324 es divisible por 2 porque termina en 4 que es un número par.
1.357 no es divisible por 2 porque termina en 7 que es un número impar.

Números divisibles por 3

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 3

Un número será divisible por 3 siempre que la suma de todos sus dígitos sea igual a 3 o múltiplo de 3.

435 Para comprobar sumamos sus dígitos 4+3+5=12 y 12 es múltiplo de 3, entonces es divisible.

12.693 Hacemos 1+2+6+9+3=21 21 es múltiplo de 3, entonces es divisible.

748 Sumamos 7+4+8=20 no es múltiplo de 3, entonces no es divisible por dicho valor.

Números divisibles por 4

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 4

Para que un número sea divisible por 4 sus dos últimas cifras deberán ser 0 (cero) o múltiplo de 4.

34.200 Sus dos últimas cifr832as son ceros, así que es divisible por 4.
532 Sus dos últimas cifras (32) son múltiplos de 4 ($ 4 \cdot 8 =32$
517 Sus dos últimas cifras no son ni ceros, ni múltiplo de 4, entonces no es divisible por 4.

Números divisibles por 5

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 5

Cualquier número será divisible por cinco, siempre y cuando termine en 5 o 0 (cero)

800 termina en 0 (cero), por lo tanto es divisible por 5
3.125 termina en 5, por lo tanto es divisible por por 5
5.128 no termina ni en 0 (cero), ni en 5, por lo tanto no es divisible por dicho valor.

Números divisibles por 6

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 6

Un número será divisible por 6, únicamente si es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo.

7.236 es divisible por 2 por que es par y también es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos es 18 (múltiplo de 3 $6 \cdot 3=18$

1.233 no es divisible por 2 ya que es impar, por lo tanto no será divisible por 6

1.810 es par por lo tanto es divisible por 2, pero no es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos es igual a 10 (que no es múltiplo de 3), por lo tanto tampoco lo será de 6.

Números divisibles por 7

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 7

Para saber si un número es divisible es por 7, lo primero que hay seguir una serie de pasos:

Separar separar el número en dos partes, por un lado dejamos solo la unidad (el último dígito del número) y por el otro lado es resto de los dígitos.
Luego tomamos el número de la unidad que separamos y lo multiplicamos por 2 y anotamos ese resultado.
El próximo paso será restar el número que habíamos separado sin la unidad con el resultado por obtuvimos en el paso 2.
Si el resultado de esa resta es igual a 0 (cero) o múltiplo de 7, entonces es divisible por dicho número. Si el resultado es un número grande podemos repetir los paso con ese resultado obtenido.

Parece difícil, pero no lo es, veamos unos ejemplos que ayudarán a que se entienda.

84 = Separamos por un lado la unidad (el último número de la cifra) y por el otro la otra parte de ese número. Entonces por un lado tendremos 4 y por otro el 8.

Ahora lo que hacemos es multiplicar 4 (el número de la unidad) por 2. $ 4 \cdot 2 = 8 $ y anotamos ese resultado.

Luego restamos el resto de los números restantes con el resultado obtenido en el paso anterior: $ 8-8=0 $ como el resultado es igual a 0 (cero) entonces es divisible por 84 es divisible por 7.

10.584= Se separa la unidad y por otro el resto del número, entonces tendremos por un lado 4 y por el otro 1.058.

Multiplicamos $ 4 \cdot 2 =8 $ y recordamos o anotamos ese número.

Ahora restamos $ 1.058 – 8 = 1.050 $

Como el número es muy grande todavía repetimos los pasos a partir de este número (1.050)

Al separar ahora tendremos 0 y 105

$ 0 \cdot 2 = 0$
$ 105 – 0 = 105 $

Todavía tenemos un número grande así que repetimos una vez más los pasos con 105. Tendremos por separado 5 y 10.

$ 5 \cdot 2 =10 $
$ 10 – 10 = 0 $ como el resultado es igual a 0 (cero) 10.584 es múltiplo de 7

Último ejemplo: 382. Se separa 2 y 38

$ 2 \cdot 2 =4 $
$ 38 – 4 = 34 $ 34 no es múltiplo de 7, ni el resultado es 0 (cero), por lo tanto 382 no es múltiplo 7.

Números divisibles por 8

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 8

Un número será divisible por 8 siempre y cuando sus tres últimos cifras sean 0 (cero) o múltiplo de 8. Otra opción para determinar si múltiplo de 8, es a las tres últimas cifras dividirlas primero por 2 y luego al resultado dividirlo por 4.

120.000 Sus tres últimas cifras son 0 (cero). Entonces es divisible por 8

4.128 Sus tres últimas cifras son 128, y 128 es múltiplo de 8, por lo tanto es divisible.

Sino te hubieras dado cuenta que 128 es múltiplo de 8, lo que puedes hacer entonces es: las tres últimas cifras las divides primero por 2 y luego por 4, si el resultado es múltiplo de 4, entonces será divisible por 8. Por lo tanto las tres últimas cifras eran 128.

$ 128 / 2 = 64 $
$ 64 /4 = 8 $ 8 es múltiplo de 4. Por lo tanto 4.128 es múltiplo de 8.

12.025 Sus tres últimas cifras no son 0 (cero), ni múltiplos de 8. Por lo tanto no es divisible por 8.

Números divisibles por 9

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, siempre y cuando, la suma de sus cifras sea múltiplo de 9.

738= Sumamos sus dígitos 7+3+8 = 18. 18 es múltiplo de 9, entonces es divisible.

37.917= 3+7+9+1+7=27. Es múltiplo de 9, por lo tanto es divisible.

23.509= 2+3+5+0+9= 19. No es múltiplo de 9, por lo tanto no es divisible.

Números divisibles por 10

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 10

Un será divisible por 10 siempre y cuando el mismo termine en 0 (cero).

1.230 Termina en 0, entonces es divisible por 10.
569.280 Termina en 0. entonces es divisible por 10.
25.010 Termina en 0, entonces es divisible por 10.
675.876 No termina en 0, por lo tanto no es divisible por 10.

Números divisibles por 11

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 11

Un número será divisible por 11 siempre y cuando la suma de las cifras que estén en la posición par, menos la suma de las cifras de la posición impar, de como resultado 0 (cero) o un número múltiplo de 11.

6.259= Las cifras en la posición par son 2 y 9, es decir que $ 2 + 9= 11 $
Las cifras en la posición impar son 6 y 5, es decir que $ 6 + 5 =11 $

Restamos ambos resultados: $ 11 – 11 = 0 $ Como el resultado de la resta es 0 (cero), 6.259 será divisible por 11.

283.965 Los números en la posición par son 8,9,5. $ 8+9+5=22$
Los de la posición impar 2,3,6. $ 2+3+6 =11 $

Restamos $ 22 – 11 = 11 $ por lo tanto 283.965 es divisible por 11.

3.841 Sumamos los dígitos de la posición para $ 8 +1 =9 $
Sumamos los de la posición impar $ 3 + 4 =7 $
Restamos ambos resultados $ 9 – 7 = 2 $ El resultado que dio no es ni 0 (cero), ni es múltiplo de 11, por lo tanto 3.841 no es divisible por 11.

Números divisible por 12

Criterios de divisibilidad o reglas de divisibilidad por 12

Un número será divisible por 12, siempre y cuando sea divisible por 3 y 4 al mismo tiempo.

240 Es divisible por 3 (2+4+0=6, que es múltiplo de 3) y es divisible por 4 (porque las dos últimas cifras son múltiplo de 4). Al cumplir ambas entonces también es divisible por 12

900 Es divisible por 3 (9+0+0=9, que es múltiplo de 3) y es divisible por 4 (porque sus dos últimas cifras son ceros). Por lo tanto también será divisible por 12.

512 No es divisible por 3 (5+1+2=8 que no es múltiplo de 3), por lo tanto tampoco será por 12.

630 Es divisible por 3 (6+3=9), pero no lo es de 4 (sus dos últimas cifras no si son ni ceros, ni múltiplo de 4), entonces no será múltiplo de 12.

https://youtu.be/8XtdanM6QEA

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Oct 9 2020

Sistema métrico decimal: Sus 5 clasificaciones explicadas fácilmente.

Introducción al sistema métrico decimal

Diferencia entre medida y magnitud

Antes de iniciar, nos pareció acertado hacer una distinción entre ambos conceptos que suenan parecidos pero no lo son.

Por un lado está la magnitud, la misma se refiere a cualquier propiedad que sea susceptibe de ser medida numéricamente a través de un proceso. A su vez, la medida es la cantidad de veces en que se repite la magnitud.

Para ayudar con el proceso de toma de medidas y unificarlos, ya que antiguamente cada pueblo o región utilizaba una manera distinta de hacerlo, es que en 1792 la Academia de Ciencias de París propuso el Sistema Métrico Decimal, que fue adoptado progresivamente por casi todo el mundo a excepción de los países de habla inglesa que utilizan el Sistema Imperial Británico.

El Sistema Métrico Decimal o Sistema Métrico internacional de Unidades

Sistema internacional de unidades

Como recién mencionamos, el Sistema Métrico Decimal nació con el objetivo de unificar las unidades de medida de distintas magnitudes, así en cualquier parte del mundo todas las personas lo puedan entender. Así fue que se estableció que:

La longitud se mide en metros.
La capacidad se mide en litros.
La masa en gramos.
La superficie en metros cuadrados.
El volumen en metros cúbicos.

A su vez, las distintas unidades que componen el Sistema Métrico Decimal están relacionadas en múltiplos o submúltiplos de 10 con respecto a la inicial y por eso recibe el nombre de decimal.

Si te interesa conocer cuál es la importancia de las unidades en las ciencias naturales, te sugerimos nuestro artículo al cual puedes ingresar haciendo click aquí.

Sistema Métrico Decimal: Longitud

La unidad principal de medida de longitud es el metro, a partir de allí si queremos buscar unidades más grandes deberemos ir multiplicando por 10 a medida que avanzamos de maginitud, a la inversa, si buscamos magnitudes mas chicas dividiremos por 10.

Multiplos y submúltiplos

Sistema Métrico Decimal: Medidas de longitud

Ahora bien, ¿qué sucede si queremos avanzar más de una magnitud? Supongamos que quiero pasar de metro a hectómetro, es decir, que avanzamos dos magnitudes. Lo que deberemos hacer es multiplicar por 100 (agregamos dos ceros porque avanzamos dos magnitudes -decámetro y hectómetro-). Si quisiéramos pasar de metros a kilómetros, en donde avanzamos tres magnitudes, deberemos multiplicar por 1.000.

Lo mismo sucederá si nos movemos hacia unidades mas chicas, pero en vez de multiplicar habrá que dividir, es decir que, si pasamos de metros a centímetros nos movemos dos magnitudes, es decir que dividiremos por 100 (nos movimos dos magnitudes decámetro y centímetro) y si pasamos a milímetros (tres maginitudes) se dividirá por 1.000.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1 Quiero saber cuántos centímetros son 5.000 decámetros.

Primer paso: Determinar si la magnitud a buscar es mayor a menor. En ese ejemplo quiero pasar de decámetros a centimetros, es decir que es menor (centímetros esta izquierda de decámetro -ver el gráfico de arriba-), entonces ya sé que tengo que dividir.

Segundo paso: Contar la cantidad de magnitudes que me muevo, que en el ejemplo son tres (metro, decímetro y centímetro). Eso determina que dividiré por 1.000 (que tiene tres ceros). Ahora estoy listo para calcular:

$ 5.000 : 1000 = 5 cm $

Ejemplo 2: Quiero saber cuantos metros son 21 kilómetros.
En este caso estoy pasado de una unidad menor a otra mayor (cambio de metros a kilómetros), por lo tanto tendré que multiplicar. Al mismo tiempo estoy moviéndome tres magnitudes (decámetros, hectómetro, kilómetro) es decir que voy a multiplicar por 1.000

$ 21 \cdot 1.000 =21.000 metros $

Ejercicios de práctica con soluciones.

a. Pasar 500 centímetros a milímetros

Haz click para ver la solución [expand] $ 500 \cdot 10 = 5.000 centímetros $ [/expand]

b. Pasar 30.000 centímetros a hectómetros

Haz click para ver la solución [expand] $ 30.000 : 10.000 = 3 hectómetros $ [/expand]

c. ¿Cuántos milímetros son 15 metros?

Haz click para ver la solución [expand] $ 15 \cdot 1.000 = 15.000 mm $ [/expand]

Si te interesa conocer más sobre cómo realizar cambios de unidades, en formato de video, haz click aquí o expande para ver el video en esta sección [expand]

https://www.youtube.com/watch?v=S138raOQoOc

[/expand]

Sistema Métrico Decimal: Capacidad

La unidad base es el litro y como en el caso de las medidas de longitud si buscamos medidas mas grande se multiplica por 10 a medida que avanzamos de una y se divide también por diez si se busca una mas chica.

Multiplos y submúltiplos

Por ejemplo si queremos saber cuantos litros son 2.500 mililitros haremos:

$ 2.500 : 1000 = 2,5 litros $

A los litros los quiero pasar a mililitros, es decir que estoy buscando una magnitud menor (por eso divido) y a su vez lo divido por 1.000 (que tiene tres ceros) porque hay tres magnitudes de distancia entre umo y otro (dl, cl y ml.)

Otro ejemplo: Cuántos centilitros son 5 litros

$ 5 \cdot 100 = 500 centilitros $

A los centilitros los quiero pasar a litros, una magnitud mayor y por eso multiplico, además al haber dos magnitudes de distancia entre ambas (dl y l) se multiplica por 100 que tiene dos ceros.

Ejercicios de práctica con soluciones.

a. Pasar 5.000 mililitros a litros

Haz click para ver la solución [expand] $ 5.000 : 1000 = 5 litros $ [/expand]

b. Pasar 10.000 litros a kilolitros

Haz click para ver la solución [expand] $ 10.000 : 1.000 = 10 kilolitros [expand] $

Sistema Métrico Decimal: Masa

La unidad base de la masa es el gramo y como las dos anteriores, si buscamos medidas mas grande se multiplica por 10 a medida que avanzamos de una y se divide también por diez si se busca una mas chica. Un dato curioso es que, en el Sistema Internacional, la unidad utilizada es el kilogramo, el cual -como vemos- en un múltiplo del gramo.

Existen otras medidas usuales de masa, que no están dentro del sistema métrico decimal, que también se usan habitualmente: Tonelada (equivale a 1.000 kilogramos) y Quintal (500 kilogramos)

Multiplos y submúltiplos

Por ejemplo si queremos saber cuantos gramos son son 81 kilogramos haremos:

$ 81 \cdot 1.000 = 81.000 gramos $

A los gramos los quiero convertir en kilogramos, una magnitud mayor, por eso multiplico. Además, hay tres magnitudes de diferencia (dg, hg y kg). Por tal motivo, multiplico por 1.000 (que tiene tres ceros).

Otro ejemplo: quiero saber cuantos gramos son 3.000 miligramos

$ 3.000 : 1.000 = 3 gramos $

Ejercicios de práctica con soluciones.

a. Pasar 5 kilogramos a gramos

Haz click para ver la solución [expand] $ 5 \cdot 1.000 = 5.000 gramos $ [/expand]

b. Pasar 9 kilogramos a miligramos

Haz click para ver la solución [expand] \( 9 \cdot 1.000.000 = 9.000.000 miligramos [\latex] [/expand]

c. Pasar 1.500 gramos a kilogramos

Haz click para ver la solución [expand] [latex] 1.500 : 1.000 = 1,5 kilogramos \) [/expand]

Sistema Métrico Decimal: Superficie

Tiene las mismas características del de longitud pero su unidad base es el m² (metro cuadrado). La forma de calcular y buscar magnitudes mayores o menores es la misma, con la salvedad de que hay que aumentar o disminuir en parejas de ceros tantas veces como cantidad de magnitudes nos movamos hacia un lado u otro. ¿Qué significa todo esto? En breve lo explicaremos con varios ejemplos que lo dejará bien en claro.

Múltiplos y submúltiplos

Superficie	Sigla	Medida
Kilometro cuadrado	km²	1.000.000 m²
Hectómetro cuadrado	hm²	10.000 m²
Decámetro cuadrado	dam²	100 m²
Metro cuadrado	m²	1 m²
Decímetro cuadrado	dm²	0.01 m²
centímetro cuadrado	cm²	0,0001 m²
milímetro cuadrado	mm²	0,00000 1 m²

Sistema métrico decimal: Superficie

Ejemplo: ¿Cuántos km² hay en 5.000.000 de m²?

$ 5.000.000 : 1.000.000 = 5 km^{2} $

Buscamos una magnitud más chica. Por eso dividimos y nos corrimos tres magnitudes a la izquierda, entonces serían tres parejas de ceros, es decir, seis ceros (1.000.000).

Existe también una medida agraria de uso muy común que se llama hectárea y que corresponde a un hectómetro al cuadrado, es decir 10.000 m²

Sistema Métrico Decimal: Volumen

Tiene las mismas características del de longitud pero su unidad base el el m³ (metro cúbico). La forma de calcular y buscar magnitudes mayores o menores es la misma, con la salvedad de vamos a aumentar o disminuir en tríos de ceros como cantidad de magnitudes nos movamos hacia un lado u otro.

Multiplos y submúltiplos

Superficie	Sigla	Medida
Kilometro cúbico	km³	1.000.000.000 m³
Hectómetro cúbico	hm³	1.00.000 m³
Decámetro cúbico	dam³	1.000 m²
Metro cúbico	m³	1 m³
Decímetro cúbico	dm³	0.001 m²
centímetro cúbico	cm³	0,000001 m³
milímetro cúbico	mm³	0,000000001 m³

Sistema métrico decimal: Volúmen

Ejemplo: Averiguar cuantos cm³ son 50 m³

$ 50 * 1.000.000 = 50.000.000 cm^{3} $

Sistema inglés o anglosajón

Medidas de longitud

Pulgada (inches) : Es el ancho del dedo gordo de la mano. Equivale 2,54 cm. Para pasar de pulgadas a centímetros habrá que multiplicar por 2,54 y si queremos calcular centímetros en pulgadas hay que dividir por 2,54.

Pie (feet): Es la medida desde la talón hasta la punta del pie y equivale a 30,48 cm. Para pasar a centimetros hay que multiplicar y para obtener centímetros desde pulgadas hay que dividir por dicho valor.

Yarda (yard): Es la medida que hay entre de punta a punta con una persona con las brazos extendidos. Equivale a 91,44 cm. Para pasar de centímetros hay que multiplicar y para hallar centímetros desde yardas hay que dividir por dicho valor.

Milla (mile): Es la distancia que da una persona al hacer 1.000 pasos. Equivale 1,6 km. Para pasar de kilometros a yardas hay que multiplicar y para obtener kilómetros desde yardas hay que dividir.

Legua (league): Es la distancia que recorre una persona al caminar por una hora. Equivale a 4,82 km. Para pasar de leguas a kilómetros hay que multiplicar y para hallar kilómetros desde yardas hay que dividir.

Tabla de equivalencia de medidas del sistema inglés con el decimal .

Sistema métrico anglosajón y su equivalente en el sistema métrico decimal

Medidas de masa y volúmen

En cuanto a las medidas de masa en el sistema inglés tenemos

La onza que equivale a 28,3 gramos
La libra que equivale a 0,454 gramos
El galón que equivale a 3,79 litros

Para pasar un valor del sistema ingles al decimal se múltiplica y para pasar del decimal al ingles se divide.

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Julián Spadaro 0 Comments

Sep 28 2020

Límites Indeterminados del tipo “0/0”

Cuando nos encontramos calculando límites, podemos caer en lo que hemos de llamar “indeterminaciones”, que deben ser salvados. Los casos de indeterminaciones son múltiples. Sin embargo, en este artículo nos ocuparemos de estudiar aquellos límites cuyo resultado nos da “0/0”, lo cual debe ser salvado.

Existen diversas formas de salvar una indeterminación del tipo “0/0”. He aquí algunas de ellas. Para una mejor organización, hemos separado los ejemplos que se nos pueden presentar en tres grandes grupos.

¡Comencemos!

Límites con factorizaciones

Los límites con factorizaciones son casos simples en las que pueden aplicarse trucos como cuadrado de un binomio, cubo de un binomio, factorización de polinomios y otras herramientas útiles para tratar de cancelar términos y obtener un límite determinado.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1

En el ejemplo anterior se aplicó diferencia de cuadrados.

Veamos otros ejemplos con diferencia de cuadrados:

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

En el siguiente ejemplo, se ha utilizado cubo de un binomio.

Recordemos:

Límites con radicales.

Para poder enfrentar los límites de este caso, es recomendable observar, primero, cuál es el factor que presenta el radical. Luego, hallar el conjugado de ese factor. Posteriormente, se deberá multiplicar la función por una fracción formada por dicho conjugado, tanto en el numerador como en el denominador.

Por último, será cuestión de aplicar las propiedades matemáticas que sean pertinentes para llegar a un resultado.

Veamos un ejemplo:

Límites con funciones trigonométricas

Los límites con funciones trigonométricas pueden resolverse teniendo en cuenta tanto las identidades trigonométricas como propiedades vistas en otros artículos. En este artículo, les presentamos, además, un límite especial de gran importancia para la resolución de ejercicios:

$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 $

¿De dónde proviene esto?

Su demostración se deduce de la siguiente manera:

Consideren un ángulo cuya medida en radianes sea $ x$, siendo $<x<\frac{\pi }{2}$.

Luego, $ sen x < x <\tan x $[Ec. 1]

y como $ senx\neq 0$, entonces podemos dividir la Ec. 1 por $senx$:

$\frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{tanx}{senx}$ [Ec. 2]

Sabiendo que $ \tan x=\frac{senx}{cosx}$, podemos reemplazar $ \tan x $ en la Ec. 2.

$ \frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{senx}{cos.senx}$

Resulta, entonces, que:

$ 1<\frac{x}{senx}<\frac{1}{cosx}$

Por lo tanto:

$ 1>\frac{senx}{x}>cosx $

O bien:

$ cosx<\frac{senx}{x}<1$ (Inec. 1)

y como $ \lim_{x\rightarrow 0} cosx=\lim_{x\rightarrow 0} 1=1 $, resulta que:

$ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 $

Es necesario indicar que, para que la igualdad de la Inec. 1 sea correcta, se debe tener en cuenta el siguiente teorema:

Si f y g son dos funciones tales que $ \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L $ y h es otra función tal que para todo x próximo a a se verifica que: $ f(x)\leq h(x)\leq g(x)$, entonces existe el límite de h(x) cuando x tienda a a y ese límite vale L.

Ejemplo 1

En este ejemplo, vamos a calcular el límite de la función dada:

Vemos que el argumento es idéntico al denominador. Este límite también da 1. ¿Por qué? Sucede que el límite genérico $ \lim_{mx\rightarrow 0}\frac{senmx}{mx}$ también da 1, es decir: $ \lim_{mx\rightarrow 0}\frac{senmx}{mx}=1$

Ejemplo 2

Calcular el límite siguiente:

Podemos observar que hemos multiplicado toda la función por “7/7”. Esto es válido pues dicha fracción es igual a 1 y no modifica a la función en sí, sino que nos permite “reacomodar” el denominador a nuestra conveniencia, de forma tal que nos quede “7x”, que justamente es lo mismo que el argumento de la función original. Aplicando propiedades de límites, obtenemos el resultado buscado.

Ejemplo 3

Calculemos el límite del ejemplo:

Aplicando propiedades de los límites, obtuvimos el límite especial por un lado y lo multiplicamos por el límite de cos(x) cuando x tiende a cero, obteniendo fácilmente el resultado buscado.

Ejemplo 4

Continuemos con un cuarto ejemplo:

Aquí, hemos multiplicado la función original por la fracción “3/3”. Como dicha fracción es igual a “1”, no nos modifica la función original en lo absoluto. Sólo nos ayuda a reorganizar el denominador para utilizar el límite especial y obtener el resultado que buscamos.

Ejemplo 5

Por último, apliquemos el límite especial para hallar un límite que presenta la función trigonométrica tangente.

Aquí, debemos tener en cuenta que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre su seno y su coseno. Luego, aplicamos la siguiente regla:

$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a.d}{b.c}$

De esta manera, obtenemos un límite especial fácil de calcular. A partir de esto, llegamos al resultado buscado, como se ve en la imagen.

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Ago 26 2020

Las 7 Propiedades de las raíces o propiedades de la radicacion

Propiedades de las raíces o propiedades de la radicación

¿Qué es la radicación o raíz?

Como la resta es la operación inversa de la suma y la división es la inversa de la multiplicación, la radicación es la operación inversa de la potenciación.

Para calcular una raíz primero conozcamos sus partes:

Partes de una raíz – Propiedades de las raíces

Por lo tanto, el resultado de una raíz (b) es un número, tal que elevado al índice (n) me de como resultado el radicando (a). Por ejemplo:

$ \sqrt[3]{8}= 2 $
Porque
$ 2^3 = 8 $

Propiedades de las raìces — Propiedades de las raíces o la radicación

Veamos otro ejemplo:
$ \sqrt[3]{125}= $

Entonces habrá que buscar un número que elevado a la 3 me de como resultado 125.

$ ?^3 = 125 $

Y ese número es 5, porque $ 5^3 =125 $.
Entonces: $ \sqrt[3]{125}= 5 $

Una simple aclaración: si una raíz tiene como índice 2 se leerá como “raíz cuadrada de…” y si el índice es 3 se leerá como “raíz cúbica de…”

Al igual que la potencia, existen propiedades de las raíces que son necesarias tener en cuenta a la hora de operar con ellas. A continuación las explicaremos a todas paso a paso.

Propiedades de la radicación

Recuerden revisar los nombres de cada parte de la operación de radicación para entender mejor cada propiedad, de todos modos con los ejemplos numéricos que daremos debajo de cada uno seguro también se entenderá.

1 La radicación de un número positivo en el radicando y que su índice sea par tiene dos resultados, uno positivo y el otro negativo.

Por ejemplo:
$ \sqrt[2]{16}= + 4 $

$ \sqrt[2]{16}= – 4 $

Luego:

$ \sqrt[2]{16}= |4| $ (es decir que se lo puedo expresar como valor absoluto).

Porque:
$ 4^2 = 16 $
y $ (-4)^2 = 16 $

Aclaración: Si bien, como vimos ambas, respuestas son matemáticamente válidas, con fines pedagógicos solamente se utilizaran los resultados positivos.

2 La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática.

$ \sqrt[2]{-16}= \nexists $

Porque:
$ 4^2 = 16 $
y $ (-4)^2 = 16 $

En ambas situaciones nunca el resultado va a dar negativo.

3 Si tengo una raíz con índice impar, el resultado tendra el mismo signo que el radicando

$ \sqrt [3] {64} = +4 $
Porque $ +4^3 = 64 $

$ \sqrt [3] {-64} = -4 $
Porque $ (-4)^3 = -64 $

¿Vamos bien? Continuemos con las otras propiedades.

4 La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división (siempre y cuando tengan el mismo índice)

Cómo distribuir las raíces con respecto a la multiplicación.

Si tengo una multiplicación dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

$ \sqrt [2] {4 \cdot 9}= $
$ \sqrt [2] {36} = 6 $

$ \sqrt [2] {4 \cdot 9}= $
$ \sqrt [2] {4} \cdot \sqrt {9} = $
$ 2 \cdot 3 = 6 $

6 = 6 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Lo mismo puede servir si tenemos esta opción que a simple vista parecería que no se podría resolver con números enteros, pero observemos

$ \sqrt [3] {9} \cdot \sqrt [3] {3} = $

pero aplicando esta propiedad la podemos “juntar” en una misma raíz (ya que tienen el mismo índice y ambas están multiplicando).

$ \sqrt [3] {3 \cdot 9} = $
$ \sqrt [3] {27} = 3 $

Y pudimos así resolver la situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

Cómo distribuir las raíces con respecto a la división.

Si tengo una división dentro de una raíz las puedo separar en dos raíces por separado y no cambiará el resultado final.

$ \sqrt {64:4} $
$ \sqrt {16} = 4 $

$ \sqrt {64:4} $
$ \sqrt {64} : \sqrt {4} = $
$ 8 : 2 = 4 $

4 = 4 como vemos por ambos caminos se llegó al mismo resultado, demostrando que es distributiva con respecto a la multiplicación.

Como en el caso de la caso de la multiplicación nos es útil para situaciones que a priori parecería que no se pueden resolver con números enteros.

$ \sqrt {18} : \sqrt {2} = $
$ \sqrt {18:2} = $
$ \sqrt {9} = 3 $

Y así pudimos resolver una situación que a priori parecía que no era posible dentro de los enteros.

¡ ATENCIÓN !

Las raíces no son distributivas ni con la suma ni con la resta.

Veamos el poque.

$ \sqrt {9+16} = \sqrt {25} = 5 $
$ \sqrt {9+16} = \sqrt {9} + \sqrt {16} = 3+4 = 7 $
$ 5 \neq 7 $

$ \sqrt {100-64} = \sqrt {36} = 6 $
$ \sqrt {100-64} = \sqrt {100} – \sqrt {64} = 10 -6 = 4 $
$ 6 \neq 4 $

5 Raíz de otra raíz (raíz de raíz)

Si tenemos una raíz dentro de otra raíz el resultado será una nueva raíz donde el índice será la multiplicación de los índices.

Propiedades de las raices – Raíz de raíz

$ \sqrt [3]{\sqrt [2]{64}} = $
$ \sqrt [2 \cdot 3)] {64} = $
$ \sqrt [6] {64} = 2 $

6 Raíz elevada a un exponente

Si tenemos una raíz elevada a un a potencia el resultado será una nueva raíz donde ese exponente estará elevando al radicando.

$ (\sqrt [6] {64})^2 = $ $ 2^2 = 4 $
$ \sqrt [6] {64^2} = $ $ \sqrt [6] {4096} = 4 $

También se se pueden anular o simplificar los exponentes cancelándolos con los índices de las raíces, para hacer esto habrá que dividir el índice con el exponente, y ese resultado es el nuevo índice de la raíz.

$ (\sqrt [8] {256}) ^4 = $
$ 2^4 =16 $

$ (\sqrt [8] {256}) ^4 = $
$ (\sqrt [(8:4)] {256} = $
$ (\sqrt [2] {256} = 16 $

$ 16 = 16 $

Otro ejemplo:

$ \sqrt [4] {9^2} = $
$ \sqrt [4:2] {9} = $
$ \sqrt [2] {9} = 3 $

7 Anulación de un raíz

Si tenemos un radicando que esta elevado a un número, y ese, es igual al índice se pueden anular y la raíz desparece.

$ \sqrt [5] {8^5} = 8 $

El 5 del índice se anula con el 5 del exponente del radicando (desaparecen) y se elimina la raíz. Entonces queda como resultado 8.

Otro ejemplo: Existe también la posibilidad de que a un radicando lo podamos expresar como potencia (igualando el índice) y así después anularlos.

$ \sqrt [4] {16} = \sqrt [4] {2^4} = 2 $

En este caso. a 16 lo expresamos como $ 2^4 $ y al ser el índice y la potencia del radicando iguales los pude anular y sacar la raíz.

Vídeo tutorial

Les compartimos un vídeo de nuestro canal de Youtube donde explicamos también este tema.

https://youtu.be/qzRQbj5NNtA

Enlace Relacionado

Las propiedades de la potencia

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Ago 13 2020

Las 7 propiedades de la potencia de números enteros

Las propiedades de la potencia en los números enteros

Definición de potenciación o potencia

¿Qué es la potenciación?. La potencia o potenciación es una forma abreviada de expresar una multiplicación de un mismo número que se repite dos o mas veces. En otras palabras significa multiplicar un número (la base) por sí mismo, tantas veces como lo indique el exponente. Su uso principal será entonces para simplificar multiplicaciones de un mismo numero. Veamos en detalle:

Partes de una potencia

Esta imagen tiene un atributo alt vacío; el nombre del archivo es propiedades-de-la-potencias-2.png — Propiedades de la potencia

Base: Es el número o factor que se va a repetir tantas veces como lo indique el exponente.

Exponente: Es el número que va a indicar la de veces que se debe multiplicar la base. Si no se escribe ningún exponente, implícitamente se entiende que está elevado a la 1. Por otro lado, si el exponente es 2 recibe el nombre “al cuadrado”, y si el exponente es 3, recibe el nombre “al cubo”.

Veamos algunos ejemplos de potencias:

$ 2^2 = 2 \cdot 2 = 4 $ significa que el 2 lo multiplico 2 veces.

$ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 $ significa que el 2 lo multiplico 3veces.

$ 2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16 $ significa que el 2 lo multiplico 4 veces.

$ 2^5= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 32 $ significa que el 2 lo multiplico 5 veces.

Potenciación con números negativos:
Lo mismo sucede para las situaciones donde la base es negativa, salvo que en estos casos hay que tener en cuenta la Ley o regla de los signos.

$ (-2)^2 = (-2) \cdot (-2 )= 4 $ significa que el (-2) lo multiplico 2 veces.

$ (-2)^3 = (-2) \cdot (-2)\cdot (-2) = -8 $ significa que el (-2) lo multiplico 3 veces.

$ (-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 $ significa que el (-2) lo multiplico 4 veces.

$ (-2)^5= (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= -32 $ significa que el (-2) lo multiplico 5 veces.

Es importante tener en cuenta que:

– Si la base es negativa y el exponente es par, por la ley de signos, el resultado será positivo.

– Si la base es negativa y el exponente es impar, por la ley de signos, el resultado será negativo.

Regla de los signos

Les dejamos un vídeo de nuestro canal de Youtube, donde se explica la Ley de los Signos.

Propiedades de la potenciación – La ley de los signos te ayuda a calcular mejor el resultado de las potencias.

En resumen:

BASE	EXPONENTE	RESULTADO
POSITIVA	PAR	POSITIVO
POSITIVA	IMPAR	POSITIVO
NEGATIVA	PAR	POSITIVO
NEGATIVA	IMPAR	NEGATIVO

Las propiedades de la potenciación – Resultados de las potenicas según el signo de la base y el exponente.

Propiedades de las potencias

Propiedades de la potencia de números enteros y exponente positivo.

Todo número cuyo exponente es 0, su resultado es igual a 1, siempre y cuando la base sea disitinta a 0.

$ 1^0 = 1 $
$ 2^0 = 1 $
$ 3^0= 1 $
$ 100^0 = 1 $
$ 1.254.247 ^0 = 1 $

Es decir que, cualquier número elevado elevado a la 0, dará siempre como resultado 1.
Todo número cuyo exponente es 1, el resultado será el mismo número.

$ 0^1 = 0 $
$ 1^1 = 1 $
$ 2^1 = 2 $
$ 10^1 = 10 $
$ 4.257.014 ^{1} = 4.257.014 $

Es decir que cualquiera sea el número que lo eleve por 1, el resultado será siempre ese mismo numero.
La multiplicación de potencias con la misma base, es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

$ 3^2 \cdot 3^3 = 3^ {(2+3)} = 2^5 = 243 $
$ 2^4 \cdot 2^2 \cdot 2^3 = 2^{(4+2+3)} = 2^9 = 512 $
$ {-2}^{2} \cdot {-2}^{4} = {-2}^{(2+4)} = {-2}^{6} = 64 $
$ {-3}^{2} \cdot {-3}^{3} = {-3}^{(2+3)}= {-3}^{5} = -243 $

Es decir, que si se están multiplicando dos o más potencias que tienen igual base, el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente tiene la suma de todos los exponentes.
La división de potencias con la misma base, es otra potencia con la misma base, y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

$ 8^{5}:8^{2} = 8^{(5-2)} = 8^3 = 512 $
$ 5^{8}:8^{4}:8^{2}=8^{(8-4-2)} = 5^{2} =25 $
$ {-2}^{5}:{-2}^{2}={-2}^{(5-2)} = {-2}^{3} = {-8} $
$ {-3}^{5}:{-3}^{3}={-3}^{(5-3)} = {-3}^{2} = {9} $

Es decir, que si están dividiendo dos o más potencias de igual base,el resultado es una nueva potencia que tiene la misma base y como exponente la resta de todos los exponentes.

5. En el caso de que haya multiplicación y división de potencias de igual base, dará como resultado otra potencia de igual base, y cuyo exponente será la suma o resta de los mismos según corresponda.

$ 3^{3} \cdot 3^{5} : 3^{4} = 3^{(3+5-4)} = 3^{4} = 81 $
$ 4^{4} \cdot 4^{2} : 4^{6} = 4^{(4+2-6)}= 4^{0} = 1 $

Es decir que se puede operar indistintamente con multiplicaciones y divisiones de igual base, siempre y cuando se respete la suma o resta, según corresponda.
En el caso que haya una potencia de una potencia, dará como resultado otra potencia, cuyo exponente será la multiplicación de los mismos.

$ 2^{3^{2}} = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64 $
$ 2^{2^{2^{3}}} = 2^{2\cdot 2 \cdot 3} = 2^{12} = 4096 $

Es decir que si tenemos un número elevado a una potencia, y que a su vez está elevado por otra potencia, el resultado será otra potencia que mantendrá la base, y que el exponente será la multiplicación de todos los exponentes.
En el caso que haya una multiplicación de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la multiplicación de las mismas.

$ 2^{3}\cdot{5}^{3} = {(2\cdot5)}^{3} = {10}^{3} = 1000 $
$ {(-3)^{2}\cdot{2}^{2} = {((-3)\cdot{2})}^{2} = {(-6)}^{2}} = 36 $
$ {(-4)^{3}\cdot{2}^{3} = {((-4)\cdot{2})}^{8} = {(-8)}^{3}} = -512 $
$ (-3)^{4}\cdot{(-2)}^{4} = ((-3)\cdot(-2))^{4} = {6}^{4} = 1.296 $

Es decir que si tenemos dos potencias de igual exponente, multiplicamos sus bases y dejamos el mismo exponente.
En el caso que haya una división de potencias con el mismo exponente, dará como resultado otra potencia de igual exponente y la base será la división de las mismas.

$ 8^2 : 4 ^2 = (8:4)^2 = 2^{2} = 4 $
$ (-18)^3 : 6^3 = ((-18):6)^3 = (-3)^3 =-27 $
$ 10^4 : (-5)^4 = ((10:(-5))^4 = 2^4 = 16 $
$ (-40)^4 : (-4)^4 = ((-40):(-4))^4 = 10^4 = 10.000 $

Te dejamos un vídeo de nuestro canal de Youtube acerca de las propiedades de la potenciación.

Las propiedades de la potenciación – Vídeo de nuestro canal de Youtube

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Propiedades de la radicación

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Ago 6 2020

Proporcionalidad directa: Sus 3 métodos de cálculo explicados.

Proporcionalidad directa - ensamble de ideas — Proporcionalidad directa

Concepto de Proporcionalidad Directa

La proporcionalidad directa es una relación de correspondencia entre dos magnitudes, que al multiplicarlas o dividirlas a cualquiera de ellas por un número, la otra también queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Entonces, luego, si comparamos ambas magnitudes, existirá una relación de correspondencia y proporcionalidad, cuando el cociente de ambas cantidades dé como resultado el mismo valor. El cociente es el resultado que da al dividir dos números cualquiera, sin tener en cuenta al resto.

Ejemplo: Si para hacer una torta necesito 2 huevos. ¿Cuántos necesitaré para hacer 2, 3, 4 o 5 tortas?

Cantidad de Tortas	Cantidad de huevos
1	2
2	4
3	6
4	8
5	10

Tabla de proporcionalidad directa

Fijémosnos lo siguiente:

A medida una de las magnitudes aumentaba, la otra lo hacia en la misma proporción:

Tortas Huevos Relación
1×1=1 2×1=2 Ambas están multiplicadas por 1

1×2=2 2×2=4 Ambas están multiplicadas por 2

1×3=3 2×3=6 Ambas están multiplicadas por 3

1×4=4 2×4=8 Ambas están multiplicadas por 4

1×5=5 2×5=10 Ambas están multiplicadas por 5

De tal modo, entonces, se está cumpliendo la primera de las premisas que escribimos en la definición: al multiplicarlas o dividirlas a cualquiera de ellas por un número, la otra también queda multiplicada o dividida por ese mismo número.

Observemos también que:
2:1=2
4:2=2
6:3=2
8:4=2
10:5=2

Se está cumpliendo con la otra premisa de la definición: el cociente de ambas cantidades de las magnitudes dé como resultado el mismo valor. Esto lo veremos también reflejado mas adelante.

Entonces, como consecuencia de estas premisas de la proporcionalidad directa se van a dar las siguientes dos situaciones:

A más cantidad de la primera magnitud, corresponde más cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.
A menos cantidad en la primera magnitud, corresponde menos cantidad en la segunda magnitud, en la misma proporción.

Métodos para calcular “Proporcionalidad Directa”

Para calcular proporcionalidad directa tenemos tres métodos o formas:

Con la razón de proporcionalidad.
Regla de tres simple.
Reducción de la unidad.

1 Razón de proporcionalidad

Este método de proporcionalidad directa es con el que se explicó la primera parte, cuando hablamos de que se multiplicaba (o dividía) dos magnitudes por un mismo número.

Veamos un ejemplo: “Para hacer una torta se necesita 1 huevo y 10 cucharadas de harina. ¿Cuántos ingredientes de cada uno necesitaré para hacer 2,3 o 4 tortas?

Proporcionalidad directa - Método razón de proporcionalidad — _{Proporcionalidad directa – Método razón de proporcionalidad}

Nótese que en cada caso ambas magnitudes (huevos y cucharadas de harina), fueron multiplicadas por un mismo número: 2, 3 y 4, respectivamente, según la cantidad de tortas que tenía que hacer.

Por otro lado, si dividimos 10:2; 20:4; 30:6; 40:8; en todos los casos nos da como resultado 5, y el resultado de esa división (cociente), es lo que se llama: Razón de proporcionalidad.

Entonces con ejemplo podemos demostrar que se cumplen ambas premisas que mencionamos en el punto anterior.

2 Regla de tres simple o Valor tipo faltante

La regla de tres simple es otro método que tenemos para calcular proporcionalidad directa. Este método es muy útil cuando conocemos tres valores y necesitamos hallar un cuarto, siempre estableciendo una relación de proporcionalidad.

Este método es muy utilizado e ideal para usar en cálculos de tiempo, porcentajes, cantidades según el sistema métrico decimal u otro.

Sistema métrico decimal: Sus 5 clasificaciones explicadas fácilmente.

Veamos un ejemplo de cómo usar el método de regla de 3 simple:

Si en 20 paquetes hay 100 figuritas, si quiero tener 150 figuritas ¿Cuántos paquetes necesito?

Planteamos la situación:

Si en 20 paquetes ………….. 100 figuritas
en X paquetes …………… 150 figuritas

X= Es la incógnita: Cuántos paquetes necesito para tener las 150 figuritas que quiero.

Nótese que al plantear la situación del lado izquierdo se agrupó a los paquetes, y del lado derecho se agrupó a las figuritas.

Una vez planteada la situación podremos empezar a resolver la regla de tres simple.

20 …. 100
X ….. 150

Ahora lo que tenemos que hacer es plantear una ecuación en donde vamos a igualar las multiplicaciones con sus valores cruzados. (20 por 150 en verde de un lado, y 100 por X, en morado del otro lado de la igualdad)

Método de cálculo de proporcionalidad directa: Regla de tres simple

Y ahora resolvemos matemáticamente la ecuación.

Es decir que para tener 150 figuritas necesitamos 30 paaquetes.

2.1 Regla de tres simple aplicada a calcular porcentajes

Supongamos que queremos calcular el 30% de 500. Para ello nos es útil utilizar la regla de tres simple:

Si 500 — 100%
x —— 30%

$x=\frac{500 \cdot 30}{100} = \frac{1500}{100} = \frac{150}$

Por lo tanto el 30% de 500 = 150

Veamos otro ejemplo de regla de tres simple aplicada al cálculo de porcentajes.

El precio de una notebook es de $70.000 pero hay una oferta que pagando en efectivo realizan un 15% de descuento. ¿Cuál es el precio que pagaré si aprovecho dicha oferta?

70.000 —– 100%
x ——- 15%

\(\frac{70.000 \cdot 15}{100} = \frac{1.050.000}{100} = \frac{10.500}
.
Por lo tanto el descuento es de $10.500. Entonces a los $70.000 le tengo que restar los $10.500 del descuento.
$70.000 – $10.500 = $59.500

Por lo el precio de la notebook con el descuento incluido, es decir el valor que voy a pagar es de $59.500.

3 Reducción a la unidad

Cómo el nombre lo indica, en este método, habrá que calcular el valor de uno sólo de esa magnitud, y a partir de allí multiplicar por el valor deseado para conseguir la información que buscamos.

Ejemplo: Si con 5 litros de combustible puedo viajar 10 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros podré hacer con 8 litros.?

Lo primero que vamos hacer es buscar el valor de una sola unidad de la magnitud que buscamos, en nuestro caso, cuantos kilómetros podemos hacer con 1 solo litro de combustible.

[latex] 10:5 = 2 \) es decir que 1 litro de combustible puedo hacer 2 kilómetros.

Ahora que conocemos el valor de la unidad, en nuestro caso cuántos kilómetros puedo hacer con un solo litro. El segundo paso será multiplicar ese resultado por el que queremos averiguar (en nuestro caso 8 kilómetros).

$ 2 . 8 = 16 $ Es decir, que con 8 litros podré hacer 16 kilómetros.

Para finalizar te dejamos un vídeo de nuestro canal de Youtube donde se explica el tema.

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May 3 2020

Los números enteros: Números positivos y negativos.

¿Cuáles son los números enteros?

Se definen como números enteros a todos aquellos números, tanto positivos como negativos, incluido el cero, que no tienen decimales (es decir, que no tienen ningún número después de la coma).

{\displaystyle \mathbb {Z} =\{\dots ,-2,-1,0,+1,+2,\dots \}} — Los números enteros

Para poder diferenciar a los números positivos de los negativos, a los positivos se le asigna el signo “mas” delante del número, por ejemplo: +10; +74, etc., y a los negativos se le asigna el signo “menos” delante del número, por ejemplo: -25; -312.

Si a un número no se le pone ningún signo, por convención matemática, se asume que el mismo es positivo, es decir que implícitamente tendrá un signo “mas +” delante del mismo por más que no se escriba.

Usos de los números enteros positivos y negativos

Los números enteros son usados para innumerables situaciones cotidianas para expresar cantidades positivas, negativas o una cantidad nula (el cero). Acá les dejemos solo unos pocos ejemplos:

La necesidad de registrar datos con números por debajo del 0, por ejemplo las temperaturas -3ºC (tres grados bajo cero), -20 metros bajo el mar, etc.
Pasa lo mismo con los positivos, por ejemplo tiene +39ºC de fiebre, el agua hierve a +100ºC, Messi mide 170 cms.
Podemos decir que estamos en el segundo subsuelo o en el piso -2, o que una persona vive en el piso 11.
El partido salió 0 a 0. Es decir que no hubo goles.
El saldo en mi cuenta bancaria es de $10.000 o mi saldo en la cuenta es $-3.000 (es decir que le debo ese dinero al banco).
Y así podríamos encontrar infinitos ejemplos.

Ubicación de los en la recta numérica.

Si queremos ubicar a los mismos dentro de la recta numérica, los números enteros negativos se ubicarán a la izquierda del cero (0), y los números enteros positivos estarán a la derecha del mismo.

Características de los números enteros

Los números enteros tienen características que los representan, a saber:

No tienen números decimales (es decir que son números sin coma).
Lo integran todos los números enteros que van desde el menos infinito hasta el más infinito, incluyendo al 0.
El símbolo que los representa matemáticamente es la Z.
El número cero es el que divide a los números positivos de los negativos. Los mas grandes a 0 serán los positivos y los mas chicos los negativos.
En la recta numérica los positivos están a la derecha del 0 y los negativos a la izquierda.
Los números enteros nos permiten expresar mayores o menores cantidades con respecto a otro número entero.
Existen infinitos números enteros tanto positivos como negativos.
Con los números enteros podemos realizar operaciones matemáticas, con la salvedad que en algunos casos habrá que tener en cuenta la regla de los signos.

Signo matemático de los números enteros.

Es importante no confundir los signos matemáticos de la operación con los signos de los números enteros

Entonces una cosa es el valor del número con su signo + (si es positivo, por ejemplo +8) o si signo – (si es negativo, por ejemplo -5), y otra el signo matemático de la operación a realizar por ejemplo:

Por ejemplo:

-10 + (-4) = Es decir que a -10 le vamos a sumar – 4
+10 – (+4)= Es decir que a +10 le vamos a restar + 4

Como vieron en los ejemplos hay números que están dentro de un paréntesis. Esto sirve para diferenciar cual es el signo de la operación matemática, y cuál es el signo del número. Para poder suprimir ese paréntesis, se deberá proceder de la siguiente manera:

Si el signo que está delante del paréntesis es + (mas) elimino el paréntesis y el signo del número encerrado entre paréntesis no cambia.
Si el signo que está delante del paréntesis es – (menos) eliminó el paréntesis y el signo de número encerrado entre paréntesis cambia

Ejemplos de números enteros

Ejemplo 1: +8 + (-5) =

Como hay un + (mas) de operación matemática delante del número entre paréntesis (+5) lo que hago es eliminar el paréntesis que le sigue y dejo el número que estaba dentro con su mismo signo

8 – 5= 3

Ejemplo 2: -4 – (-6)=

Como hay un – (menos) de operración matemática delante del número entre paréntesis (-6), lo que hago es eliminar el paréntesis que le sigue y dejo el número que estaba dentro pero ahora con el signo cambiado

– 4 + 6 = 2

Operaciones de sumas y restas con números enteros

Ahora que ya sabemos sacar los paréntesis, lo que vamos a hacer es aprender a operar con números enteros, ya sean éstos positivos o negativos.

Veamos ahora las opciones que puedan suceder:

Que tengan en el mismo signo:
Que tengan distintos signos

Que tengan el mismo signo

Antes de empezar con la explicación con ejemplos de como se opera con los números enteros, es necesario conocer el concepto de valor absoluto.

El valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número es el mismo número sin tener en cuenta su signo, es decir, ni positivo ni negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5, sin ser ni +5 ni -5. Otra forma de definirlo es como la distancia que existe entre ese número y el cero en la recta numérica.

Operaciones de sumas y restas de números enteros que tengan el mismo signo

Si esto sucede se suman sus valores y se mantiene el signo

Ejemplos

9 + 3 = 12 todos son positivos, por eso los sumo y el resultado queda con el signo mas +

-8 – 2= -10 todos son negativos, por eso los sumo y el resultado queda con el signo menos –

Operaciones con números positivos de sumas y restas de números enteros que tengan el distinto signo

Si esto sucede al número de mayor valor absoluto le resto el de menor valor absoluto, y al resultado que me da, le dejo el signo del número más grade en valor absoluto.

Ejemplos

+8 – 4

8 – 4 = 4 8 es el número más grande y 4 el más chico, entonces se resta el más grande con el mas chico 8-4= 4 y se deja el signo del más grande, que en éste ejemplo era +. (+8)

+9 – 12 =

+9 – 12 = -3 12 es el más grande y 9 el más chico, entonces restamos el más grade con el más chico, 12 – 9 = 3 , pero como el más grande era negativo (-12), el resultado será negativo – 3

Más ejemplos (un poquito mas complejos) de operaciones de sumas y restas

Ejemplo 1:

-(-15) + (+5)=

15 + (+5)= primero le sacamos el paréntesis al -15, como el signo que está fuera del paréntesis es -, cambiamos de signo al número que estaba dentro y por eso queda +15.

15 + 5 =20 ahora le sacamos el paréntesis al + 5, como el signo que estaba fuera del paréntesis es + se deja el mismo signo por eso queda +5.

Ejemplo 2:

+(-10) – (-6)=

–10 – (-6) como el signo que está delante del (-10), es +, se quita el paréntesis dejando el mismo signo que tenía el número, es decir -10.

-10 + 6 = -4 como el signo que es delante del (-6) es negativo, se cambia el signo del número que estaba dentro, por eso es +6.

La multiplicación y división con números enteros

Para multiplicar números enteros se multiplican sus valores absolutos, y al resultado se le coloca el signo, según la ley de los signos. Con la división pasa lo mismo, pero teniendo en cuenta -en el caso de los números enteros – que la división siempre debe dar como resultado otro número entero, es decir ser exacta.

Ley de los signos o regla de los signos

Regla memotécnica: Si los dos signos son iguales, entonces el resultado es positivo, si los signos son distintos, el resultado será negativo.

En este vídeo de nuestro canal de Youtube se explica la ley de los signos.

https://youtu.be/R4HAoDFzyUQ

Ejemplos de multiplicación

+3 . (+5) = +15 + . + = +

-5 . (-2) = +10 – . – = +

(-2) . (+6) = -12 – . + = –

+ 3 . (-4)= -12 + . – = –

Ejemplos de divisiones

+10 : (+2) = +5 + : + = +

-12 : (-6) = +2 – : – = –

(-20) : (+4) = -5 – : + = –

+18 : (-3)= -6 + : – = –

Para finalizar recomendamos ver el siguiente vídeo de canal Encuentro acerca de los números enteros.

Conoce todos los artículos que tenemos en Ensamble de Ideas en otras áreas de estudio como ciencia, contabilidad, física, etc.

Tu opinión nos interesa, si quieres puedes dejarnos un comentario, sugerencia o consulta abajo.

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2 La radicación de un número negativo en el radicando y que su índice es par no tiene solución matemática.

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