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Contabilidad - SIC - Sistemas de Información Contable
Abr 22 2020
Calcula interés simple en un minuto: 4 Ejemplos prácticos

Concepto de interés simple

interes simple ensamble de ideas

En una operación comercial se denomina interés simple al rendimiento económico que recibe una de las partes por haber otorgado a otra una determinada suma de dinero o capital, como inversión o préstamo, durante un determinado período de tiempo.

Es importante aclarar que en las operaciones a interés simple el capital inicial se mantendrá siempre constante durante todo el período que se prolongue dicho préstamo o inversión, esto hará que el interés que se vaya pagando en todos los períodos se mantenga constante.

Diferencia entre el interés simple y el interés compuesto

Lo contrario sucede en el cálculo del interés compuesto, que el capital de origen se va modificando a medida que pasa el tiempo, y el interés se calcula sobre capitales cada vez mayores, y por ende, los intereses también crecerán.

Otra diferencia entre ambos es que el interés simple se calcula mediante una fórmula de ecuación líneal, mientras que en el interés compuesto se utiliza una exponencial.

Cómo calcular Interés simple – Diferencia entre int. simple e int. compuesto.

Cómo calcular interés simple

Para el cálculo del interés simple participan los siguientes elementos:

  • Un capital inicial o capital de origen (Co)
  • Una tasa porcentual de interés o razón (R)
  • El tiempo total por el que se presta o invierte ese capital (n)

Fórmula del interés simple

formula de interes simple

Regla memotécnica para recordar la fórmula. Seguramente la gran mayoría de ustedes alguna vez fue a las casas de vídeo juegos, y en las pantallas para empezar a jugar les aparecía la frase “insert coin”. Justamente la palabra coin contiene las tres partes de la fórmula de interés simple.

En donde:

  • Is = Interés simple, es decir, la ganancia que se obtendrá al finalizar el período.
  • Co = Capital de origen, es decir el dinero que se va a prestar o invertir
  • i= la tasa de interes y que sale de dividir R/100. Hay que recordar, que R o razón, es el porcentaje de interés que se aplicará en la operación. Es el número que aparecerá con el signo %
  • n= es el tiempo de duración total del préstamo o inversión, es decir la cantidad de veces que se aplicará la tasa i, en ese período.

Es importante tener en cuenta que tanto la tasa de interés (i) como el período de tiempo (n) deben estar expresados en la misma unidad de tiempo para que el resultado sea correcto. Esto significa que si la tasa de interés está en meses, el tiempo también deberá expresarse en meses; si la tasa está en semestres, el tiempo también deberá estar en semestres. Si los datos están en unidades de tiempo diferentes, será necesario cambiar uno o ambos para que coincidan en la misma unidad de tiempo.

Interés simple – Fórmulas despejadas

Cómo calcular Interés simple interés simple formulas de interes simple
Cómo calcular Interés simple – Interés simple fórmulas despejadas

Repaso de las unidades de tiempo que caben dentro de otras.

Como recién se mencionó para calcular correctamente el interés simple es importante que tanto el tiempo como la tasa de interés estén expresadas en la misma unidad de tiempo. Para ello es bueno recordar cuantas unidades tiempo caben dentro otras, ya en el próximo apartado veremos como podemos hacer para igualarlas.

Cómo calcular Interés simple – Escala de tiempo

En 1 año hay: 2 semestres – 3 cuatrimestres – 4 trimestres – 6 bimestres – 12 meses

En 1 semestre hay: 2 trimestres – 3 bimestres – 6 meses

En 1 cuatrimestre hay: 2 bimestres – 4 meses

En 1 trimestre hay: 3 meses

En 1 bimestre hay: 2 meses

¿Cómo igualar las unidades de tiempo en “i” y “n”

Antes que nada hay que recordar la escala de tiempos vista en el apartado anterior para saber que cálculos deberemos hacer para igual i y n en la fórmula de interés simple.

Cómo calcular Interés simple – Movimientos en la línea de tiempo

Ejemplos de ir hacia un período de tiempo más chico

Supongamos que tenemos una tasa de interés del 24% anual y queremos convertirla a semestral. Es decir, pasamos de un período de tiempo más largo a uno más corto. Para hacer esto, dividiremos la tasa de interés entre el número de períodos en un año, que son 2 semestres. Por lo tanto, para convertir una tasa de interés del 24% anual a una tasa semestral, dividiremos el 24% entre 2, lo que nos dará un 12% semestral.

24 % : 2 = 12 % semestral

Para el resto de los períodos de tiempo será así

Cuatrimestral: En un año hay 3 cuatrimestres, entonces haremos 24:3=8% cuatrimestral.

Trimestral: En un año hay 4 trimestres, entonces 24:4=6% trimestral.

Bimestral: En un año hay 6 bimestres, entonces 24:6=4% bimestral

Mensual: En un año hay 12 meses, entonces 24:12=2% mensual

Ejemplos de ir hacia un periodo de tiempo más grande.

Supongamos que tenemos una tasa de interés del 3% mensual y la queremos pasar a una tasa anual. Como estamos pasando de un período de tiempo mas chico a uno mas grande, entonces tendremos que multiplicar. Como en un año hay 12 meses a la tasa de interés, entonces la multiplicaremos por 12 y nos da por resultado el 36% anual.

3 % * 12 = 36% anual

Para el resto de los períodos de tiempo será así:

Semestral: En en semestre hay 6 meses, entonces haremos 3×6=18% semestral

Cuatrimestral: En un cuatrimestre hay 4 meses, entonces 3×4=12% cuatrimestral

Trimestral: En un trimestre hay 3 meses, entonces 3×3=9% trimestral

Bimestral: En un bimestre hay 2 meses, entonces 3×2=6% bimestral

Ejemplos prácticos de interés simple

Cómo calcular Interés simple

Ejemplo 1: Buscar el interés simple y el monto

Tenemos $10.000 ahorrados y los vamos a invertir en un plazo fijo a 3 meses que paga un interés simple del 28% anual. ¿Cuánto dinero tendremos al finalizar el plazo fijo?

Como i y n no están en la misma unidad de tiempo, la tasa anual la vamos a pasar a una mensual,  para eso como vamos hacia un período de tiempo más chico vamos a tener que dividir, y como en un año hay 12 meses haremos:

Ahora sí i y n están expresados en la misma unidad de tiempo, entonces podremos usar la fórmula de interés simple. Los nuevos datos datos ahora serán:

Co=10.000

i= 0,023333 mensual

n= 3 meses

Reemplazamos los valores en la fórmula de interés simple

Pero el ejercicio preguntaba, cuanto dinero tendremos al finalizar el plazo fijo, para eso tenemos una nueva fórmula que se llama monto (Cn) y que sale de sumar el capital original más el resultado del interés simple. En nuestro ejemplo será:

Ejemplo 2: Calcular el tiempo conociendo el interés simple

Durante cuanto meses tendré que dejar $8.000 si el banco paga un interés simple del 6% trimestral si quiero tener $1.440 de interés

Pero fíjense que el dato del tiempo lo pide en meses y la tasa en trimestres, como vamos hacia un período de tiempo mas chico, vamos a tener que dividir, y como en un trimestre hay 3 meses al valor de i lo divideremos por 3.

Ahora que ya tenemos igualados i y n podemos usar la fórmula ya despejada

Ejemplo 3: Calcular la tasa de interés conociendo el interés simple

¿A qué tasa de interés anual presté $2.500, si en 7 meses me dieron $525 de interés simple?

Los datos que tengo son:

Co= 2.500

n= 7 meses

Is= 525

Tengo que hallar R (tasa de interés) anual.

Pero el ejercicio pedía la tasa anual, y como el resultado de i nos dio en meses y tenemos que buscar un período de tiempo más grande vamos a multiplicar, y como en un año hay 12 meses, multiplicaremos por dicho valor.

Pero en este caso falta una cosa mas, el resultado nos dio con decimales, para llevarlo a valor porcentual, habrá que multiplicarlo por 100, para que nos de el valor de R o tasa de interés.

La tasa de interés será del 36% anual.

Ejemplo 4: Cálculo del capital original.

¿Cuánto dinero había depositado al principio del período, si durante 5 meses al 2% de interés simple mensual me dejó $300 de interés.?

Los datos que tengo son:

Por último te dejamos este vídeo acerca de cómo calcula interés simple. Te invitamos a que te suscribas al canal y le des like al video, de esta forma nos ayudas a seguir creciendo y publicando material educativo gratuito.

Por último, si te interesa saber más sobre intereses y préstamos te recomendamos leer nuestro artículo sobre los sistemas de amortización de préstamos más utilizados.

Gracias por haber leído nuestro artículo.

Ensamble de Ideas – Copyright 2024

Julián Spadaro 1 Comments
Abr 2 2020
La fórmula mágica para resolver cálculos combinados: PEMDAS
cálculos combinados
Cálculos combinados

Introducción a los cálculos combinados

En este post vamos a aprender el orden que hay que seguir para realizar operaciones combinadas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, potencias y raíces, sin paréntesis, ni corchetes.

Se llaman operaciones combinadas en los cuales se juntan cálculos con varios signos aritméticos en una misma cuenta. Para obtener un resultado que sea el correcto es necesario seguir algunas reglas y tener en cuenta la prioridad entre las operaciones.

El método PEMDAS de jerarquía de las operaciones para resolver ejercicios de operaciones combinadas

Para resolver ejercicios con operaciones combinadas es necesario seguir una serie de pasos conocidos como “jerarquía de las operaciones”. Esto permitirá tener un orden metodológico para realizar los ejercicios de cálculos combinados de manera correcta. En otras palabras, resolver este tipo de ejercicios no implica simplemente ir resolviendo de izquierda a derecha a medida que aparecen las operaciones, sino que se deben seguir pasos específicos y concretos. Estos pasos son:

  1. Separar en términos
  2. Resolver todas las operaciones (cuentas) dentro de cada término. Es decir, no se hacen todas las cuentas de manera seguida.
  3. Además, dentro de cada término hay una jerarquía de operaciones. Esto significa que también dentro de cada término hay un orden de resolución. Como regla mnemotécnica, se puede recordar la palabra “PEMDAS”, que significa:
    Paréntesis: Evalúe primero las expresiones dentro de paréntesis.
    Exponentes: Evalúe los exponentes a continuación.
    Multiplicación y División: Realice la multiplicación y la división de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen.
    Adición y Sustracción: Realice la suma y la resta de izquierda a derecha, en el orden en que aparecen.
  4. Una vez resueltas todas las cuentas dentro de cada término (es decir, que no queden paréntesis, potencias, raíces, multiplicaciones ni divisiones por resolver), se comenzará a sumar y restar según corresponda, siempre de izquierda a derecha.

Se recomienda a la hora de sumar y restar, hacerlo de a pares y en forma escalonada, como se verá en los ejemplos que se muestran mas adelante.

¿Cómo separar en términos?

Como mencionamos en el apartado anterior, el primer paso para realizar cálculos combinados es separar en términos. Para ello, es necesario separar las operaciones en donde haya sumas o restas, teniendo en cuenta no confundir el signo del número con el signo matemático de la operación. Por ejemplo:

64:8 + 15:5 =

Resolver las las cuentas dentro de los términos y luego sumar y restar.

Observen que cada término está subrayado por separado, es decir que las cuentas que se resuelven primero son: 64:8; luego 15:5, y luego se suman

64:8 + 15:5 = 8 + 3 = 11

Si por el contrario, si a éste cálculo combinado lo hubiéramos calculado todo manera seguida, sin separar en términos sería:

64:8 + 15:5 =

8 + 15:5

23:5 = 4,6 y éste resultado sería incorrecto el resultado obtenido de éste cálculo combinado.

Ejercicios con cálculos combinados resueltos

Ejemplo 1 de cálculos combinados

120:40 + 38*6 – 90:6 + 33*2 – 15:5=

120:40 + 38*6 – 90:6 + 33*2 – 15:5 =

3 + 228 – 15 + 66 – 3 =

231 – 15 + 66 – 3=

216 + 66 -3=

282 – 3 = 279

Ejemplo 2 de cálculos combinados

27*6 – 72:9 + 45*21 – 250:25 =

27*6 – 72:9 + 45*21 – 250:25 =

162 – 8 + 945 – 10 =

154 + 945 – 10 =

1099 – 10 = 1089

Ejemplo 3 de cálculos combinados

6²:4 – 2³:4 + \(\sqrt{100}\) :2 + 72:9 – 3*4 =

36:4 – 8:4 + 10:2 + 8 – 12=

9 – 4 + 5 + 8 – 12=

5 + 5 + 8 – 12=

10 + 8 -12 =

18 – 12 = 6

Como vieron en todos los casos se siguió el paso a paso detallado al principio de la explicación

  1. Se separó en términos
  2. Se resolvió las potencias y raíces.
  3. Se resolvió las multiplicaciones y divisiones.
  4. Por último se hicieron las sumas y restas

Ejercicios de práctica para ustedes

Aquí tienen varios ejercicios, con sus respuestas correctas como para que puedan repasar.

  • 25*12 + 42:7 – 12:4 + 3*5 = 318
  • 512:32 – 1320:88 + 975:15 – 629:17 = 30
  • 37*16 + 372:6 + 512:64 = 646
  • 421*6 + 2.105:5 + 140*20 – 1.000:10 = 4.805
  • 678*12 + 5.024:314 + 238*82 – 3.956:86 = 27.622
  • \( \sqrt{625}\) :125 + 8²:2² – 120:40 = 18
  • \( \sqrt{81}\) :3 + 5³:25 – 4²:8 – \( \sqrt{144}\) :2 = 0

Les dejamos además para aquellos que no pueden usar las calculadoras en clase, las tablas de multiplicar como ayuda.

calculos combinados
Cálculos combinados – Tablas de multiplicar

Tips para entender y aprender mejor las matemáticas

calculos combinados
Cálculos combinados – Tips para entender y aprender las matemáticas

Si bien las matemáticas es una materia que tiene muchos adeptos, (¡ y vaya si los tiene!), hay muchos otros que no la pueden ni ver, (y tampoco hay problema en eso), sobre gusto no hay nada escrito. Si estás dentro de éste último grupo, y te cuesta estudiarla, aquí hay un par de tips que te ayudaran a que sean más fáciles, y porque no, terminar siendo un crack de los números.

Tips:

  1. No decir de entrada “este tema no lo voy a entender”; “Yo no soy inteligente”; “No me va salir”; etc. Piensalo como un deporte, ningún deportista entra a la cancha diciendo: “voy a perder”, con los ejercicios de matemáticas pasa lo mismo, entra confiado y con ganas de que van a salir, esa actitud positiva ayudará mucho.
  2. Prestar atención en clase. Sí ya sé, es más divertido hablar con tu compañero de banco, mirar el celu u otra cosa, pero escuchar la explicación de tu profesor es esencial para aprender.
  3. Si no se entiende preguntar las veces que sean necesarias. No tengas vergüenza en preguntar, y más de una o dos veces si no entiendes. Cada uno tiene su tiempo para procesar la información, nadie nace sabiendo las cosas. Recuerden cuando eran chicos y tenían 4 o 5 años, y cada rato la preguntaban a sus familas “por qué, esto..?; “Por qué, lo otro…”; “¿Cómo se hace tal cosa…?”; “Me ayudas”. Con las matemáticas hagan los mismo.
  4. Practicar, practicar y practicar. Y sí, no queda otra, una de las mejores formas de aprender matemática, es hacer muchos ejercicios, verás que de a poco, los ejercicios te irán saliendo más rápido.
  5. Buscar reglas memotécnicas que te ayuden a recordar conceptos. Busca palabras, conceptos, dibujos, lo que se te ocurra para ayudarte a recordar las cosas.
  6. Buscar juegos para aprender matemática. Jugar es una forma de aprender sin darse cuenta, busca en la web, apps, etc., juegos que te ayuden a tal fin.

Conocé nuestros otros vídeos educativos en distintas áreas https://www.ensambledeideas.com/. También puedes conocer nuestro canal de YouTube en donde podrás encontrar cientos de tutoriales educativos de matamticas y otras materias.

Julián Spadaro 0 Comments
Mar 28 2020
Los FRACTALES en la física y cómo crearlos en 4 pasos.

¿Qué son los fractales?

Armando tus propios fractales

Para poder definir correctamente qué es un fractal, imaginemos una figura, como un cuadrado o un triángulo. ¿Listo? Ok, repitamos esa figura, pero ahora a diferentes escalas, de forma tal que, si la vemos de cerca o de lejos, la figura se repite una y otra vez. ¿Complejo? Hagámoslo, pero paso a paso:

  1. Imaginemos una figura, a la que llamaremos Figura 1.
Armando fractales.
Figura 1.

2. Ahora, repitamos la Figura 1, en una escala más grande. Para ello, en cada vértice del cuadrado anterior podemos colocar otros cuatro cuadrados:

Armando fractales.
Figura 2.

3. Ahora, en cada vértice de la Figura 2, coloquemos nuevamente dicha figura. Nos quedará algo semejante a esto:

Armando fractales.
Figura 3.

4. En cada vértice dela Figura 3, agreguemos la misma figura:

FIgura 4.

Si siguiéramos, en cada vértice, agregando más figuras semejantes, tendríamos un hermoso fractal. ¡Pero existen mil maneras de fabricarlas! Repitiendo figuras una y otra vez, podríamos lograr cosas como éstas:

Figura 5.

La geometría fractal

Los fractales tienen, por supuesto, un trasfondo matemático llamado geometría fractal, una rama reciente de la matemática que surgió a fines del Siglo XX, que intenta analizar al mundo y al universo en base a unidades que se repiten a diferentes escalas.

Ahora sí, ¡definamos!

¿Qué es un fractal?

Un fractal, cuyo nombre proviene del latín fractus, que significa “quebrado” o “fracturado”, es una forma geométrica (es decir, un objeto) que se repite a diferentes escales; en otras palabras, un complicado patrón matemático construido a partir de formas simples que reducen su tamaño cada vez que se repiten.[note]Adaptado de https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/fractal.[/note]

Arte fractal.
Arte fractal, la mezcla perfecta entre arte y matemática.

Los fractales en la Naturaleza

Fractales en la Física, Química, Biología y Geología

Fractales en el mundo cuántico.

Fractales en el mundo cuántico. Esta imagen de fractales es, sin duda, semejante a los rastros dejados por electrones inmersos en un campo electromagnético, dentro de un acelerador de partículas.

El estudio de la geometría de fractales permite ver que en la naturaleza encontramos cientos de casos en donde la repetición de formas a diferentes escalas parece ser la mejor explicación sobre su apariencia física. Desde invisibles moléculas de Ácido Desoxirribonucleico (ADN), pasando por verduras cotidianas, hasta los increíbles y monumentales anillos del planeta Saturno. Cientos de estructuras bien conocidas parecen resguardarse en la geometría fractal. En cuanto a la física, los fractales son capaces de ser encontrados en estudios de Óptica Geométrica, Geofísica (terremotos y olas marinas), Acústica (como los sonidos cardíacos).

Entre otros campos en los que fractales pueden ser encontrados, hallamos objetos de estudios de cada una de las diferentes ramas de las ciencias naturales, tales como los latidos del corazón, la cinética química de reacciones competitivas y los polímeros químicos.

Fractales en Astronomía: galaxia de galaxias.
Modelo fractal en el que se repiten formas galácticas, creando así una imagen de “galaxias de galaxias”.

Cosmología fractal

Imaginen un universo formado por galaxias luminosas, sistemas de millones de estrellas (como la Vía Láctea, donde habita nuestro Sistema Solar) agrupadas a causa  de su propia gravedad, y distribuidas uniformemente por todo el espacio y en todas las direcciones, hasta el infinito. Las galaxias aparecen cada vez más borrosas a medida que se alejan, pero eso se compensa al aumentar el número de galaxias que podemos ver, debido a que la distancia es mayor.

Fractales en la hipótesis de Olvers.

Hipótesis de Olbers: el cielo comprendido entre las estrellas más próximas debería ser tan brillante como las propias galaxias y no completamente oscuro. ¿Por qué esto no pasa?

La explicación más razonable de la paradoja de por qué el cielo no es completamente brillante debido a la cantidad inmensa de estrellas que lo forman (llamada paradoja de Olbers[note]Nombrada así por ser formulada por el astrónomo alemán Heinrich Wilhelm Olbers (1758 – 1840) en 1823 y mencionada anteriormente por Johannes Kepler (1571 – 1630) en 1610 y por Loys de Chéseaux (1718 – 1751) en el Siglo XVIII.[/note]) es que, si no existen factores artificiales que limitan la vida o la extensión del universo, éste continúa expandiéndose; es decir, que todas sus galaxias se alejan unas de otras.

No obstante -adivinen qué-, otra posible alternativa para explicar la Hipótesis de Olbers puede ser hallada en los fractales: si el conjunto de estrellas forma un fractal parecido a un “Polvo de Cantor” (ver la imagen de abajo), el universo modelizado por Benoît Mandelbrot permite pensar en un zonas oscuras del cielo, a pesar de que existan infinitas estrellas (bueno, infinitas no, pero sí millones de miles de millones de estrellas en él).

Polvo de cantor, modelo de fractales.

Polvo de Cantor, modelo de fractales que permite explicar por qué el cielo no es completamente brillante a pesar de contar con miles de millones de estrellas por galaxia, con miles de millones de galaxias en él.

¡Ah! ¡Por cierto! Benoît Mandelbrot fue, justamente, el matemático que acuñó el término “fractal” por primera vez, allá por 1975.

Mesografía Sugerida

Los fractales también aparecen en el llamado Movimiento Browniano, que explica el movimiento azaroso de las partículas de un sistema. Cuanto más caliente está un sistema, mayor es su movimiento browniano. Cuanto menor temperatura tenga, menor será el movimiento. Es por ello que el azúcar se disuelve más fácilmente en agua caliente que en agua fría. Si quieres seguir investigando sobre esto y hasta experimentar, puedes hacerlo en:

https://www.ensambledeideas.com/tcm_experimento/
Disponible en https://www.ensambledeideas.com/tcm_experimento/

Fuente

Armin Bunde, University of Giessen, Germany and Shlomo Havlin,Bar Ilan University, Ramat-Gan, Israel (eds.); “Fractals in Science”, disponible en: http://havlin.biu.ac.il/Shlomo%20Havlin%20books_f_in_s.php

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Matematica
Abr 3 2018
¡Los egipcios usaban fracciones hace 4000 años!

¿Sabías que en el antiguo Egipto ya se usaban las fracciones? Sí, esos números que utilizamos constantemente en matemáticas, formando parte de nuestra escolaridad y cuentas algebraicas en la secundaria (o ESO) y en la universidad, ya estaban presentes hace más de 4000 años. En este artículo descubrirás la fascinante historia de ellas.

Las fracciones en la actualidad

Hoy sabemos que, si partimos una pizza en 8 porciones y nos comemos una porción, representamos a esa fracción con el símbolo matemático: \( \frac{1}{8}\). Por otra parte, si nos comemos la mitad de una barra de chocolate, podemos representar al concepto de mitad con \( \frac{1}{2} \) . Y más complejo aun: si esa barra de chocolate presenta doce pequeños bloques y, mirando una película en Netflix, nos comemos 3 bloquecitos, entonces habremos comido unos \( \frac{3}{12} \) de la barra de chocolate. ¿Vamos bien? ¡Ahora imagínate que todo esto ya estaba hace miles de años!

Las fracciones en el Antiguo Egipto.

Sin embargo, en el Antiguo Egipto las cosas fueron un poco más sencillas: sólo utilizaban fracciones unitarias. Esto es, números que tenían un 1 como numerador, por ejemplo \( \frac{1}{2}\), \( \frac{1}{3} \) ó \( \frac{1}{8} \). ¡Pero había una extraña excepción! Los egipcios contaban con la existencia del \( \frac{2}{3} \).

Si bien no existían los símbolos que hoy conocemos para los números, ellos tenían su propia forma de escribirlos (un poco más parecidos a los jeroglíficos que acostumbramos ver), tal como se muestra en el papiro de Ahmes o papiro de Rhind (llamado así por su descubridor, el egiptólogo escocés A. Henry Rhind), que data del 1650 a.C y que se expone en el museo de Londres desde 1865. En este documento, no sólo figuran estas cuestiones relacionadas con fracciones, sino también problemas matemáticos relacionados con trigonometría, ecuaciones, áreas, volúmenes, etc.

Papiro Matemático de Rhind.
Papiro Matemático de Rhind

¿Cómo hacían para escribir números más complicados como \( \frac{2}{5} \)? Aquéllas que tenían un numerador distinto de 1 las descomponían en sumas de fracciones unitarias con sumandos diferentes, nunca iguales. ¿Qué significa esto? Veamos:

El valor \( \frac{2}{5} \) podría escribir como suma de las fracciones unitarias \( \frac{1}{5}+\frac{1}{5} \). No obstante, lo hacían como la suma de las fracciones unitarias \( \frac{1}{3}+\frac{1}{15} \), pues ambas fracciones NO son iguales, es decir, son sumandos diferentes. ¡Qué extraño, ¿verdad?! ¡Pero interesante!

Fracciones egipcias.
Los símbolos eran muy diferentes a los de hoy en día, pero igual de útiles.

Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII

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matematicas
Mar 29 2018
Valor absoluto (módulo): Propiedades de la desigualdad.

Para empezar: una definición forma de valor absoluto o módulo.

El módulo o valor absoluto, notado como \( \left | a \right |\), puede definirse como:

valor absoluto o modulo
Definición de \( \left | a \right |\) cuando \( \left | a \right |\) es un número real.

Algunas propiedades

PROP. 1:

\( \left | a \right |=\left | -a \right |\)

PROP. 2:

\( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |\)

PROP. 3:

Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:

\( \left | a \right |\leqslant b\)

es equivalente a decir que:

\( -b\leqslant a\leqslant b \)

Explicación:

Como sabemos, \( \left | a \right |\) mide la distancia de \( a\) al 0.

Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir  \( -b\leqslant a\leqslant b\).

PROP. 4:

\( \left | a \right |=\sqrt{a^2}\)

PROP. 5:

\( \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |\)

Demostración:

Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos (\( \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |\)), esto no se cumple y sucede que: \( \left | a+b \right | \) > \( \left | a \right |+\left | b \right |\). Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:

\( \left | a+b \right |^2 \) > \( (\left | a \right |+\left | b \right |)^2\)

O sea:

\( \left | a+b \right |^2 \) > \( \left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}\)

Como sabemos, por propiedad 2, que: \( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |\), entonces:

\( \left | a+b \right |^2 \) > \( \left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}\)

Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: \( \left | a \right |=\sqrt{a^2}\), podemos reescribir lo anterior como:

\( (\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} \) > \( (\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}\)

de donde:

\( (a+b)^{2}\)   >   \( a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}\)

O sea:

\( a^{2}+2ab+b^{2}\)  >  \( a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}\)

Simplificando \( a^{2}\), \(b^{2}\) y, luego, simplificando el 2, tenemos que:

\( ab\)    >    \( \left | a b \right |\)

lo cual contradice la propiedad 2, según la cual \( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |\).
Q.E.D.

Valor absoluto y las propiedades de la desigualdad – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII

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