Valor absoluto (módulo): Propiedades de la desigualdad.
Para empezar: una definición forma de valor absoluto o módulo.
El módulo o valor absoluto, notado como \( \left | a \right |\), puede definirse como:
Algunas propiedades
PROP. 1:
\( \left | a \right |=\left | -a \right |\)
PROP. 2:
\( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |\)PROP. 3:
Si b es número real positivo, entonces la desigualdad:
\( \left | a \right |\leqslant b\)es equivalente a decir que:
\( -b\leqslant a\leqslant b \)Explicación:
Como sabemos, \( \left | a \right |\) mide la distancia de \( a\) al 0.
Que a sea menor o igual que b significa que la distancia de a al 0 no debe ser mayor que b. Sería lo mismo que decir que a no se puede pasar de b a la derecha ni de -b a la izquierda. Esto, claro está, es lo mismo que decir \( -b\leqslant a\leqslant b\).
PROP. 4:
\( \left | a \right |=\sqrt{a^2}\)PROP. 5:
\( \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |\)Demostración:
Supongamos que en vez de ser lo que afirmamos (\( \left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |\)), esto no se cumple y sucede que: \( \left | a+b \right | \) > \( \left | a \right |+\left | b \right |\). Como ambos miembros son mayores que cero, es decir, son positivos, podemos elevar al cuadrado a cada miembro de la desigualdad, pues la misma se mantiene:
\( \left | a+b \right |^2 \) > \( (\left | a \right |+\left | b \right |)^2\)
O sea:
\( \left | a+b \right |^2 \) > \( \left | a \right |^{2}+2\left | a \right |\left | b \right |+\left | b \right |^{2}\)
Como sabemos, por propiedad 2, que: \( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right |\cdot \left | b \right |\), entonces:
\( \left | a+b \right |^2 \) > \( \left | a \right |^{2}+2\left | a\cdot b \right |+\left | b \right |^{2}\)
Utilizando la propiedad 4, que nos decía que: \( \left | a \right |=\sqrt{a^2}\), podemos reescribir lo anterior como:
\( (\sqrt{(a+b)^{2}})^{2} \) > \( (\sqrt{a^{2}})^{2}+2\left | ab \right |+b^{2}\)
de donde:
\( (a+b)^{2}\) > \( a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}\)
O sea:
\( a^{2}+2ab+b^{2}\) > \( a^{2} + 2\left | a b \right | + b^{2}\)
Simplificando \( a^{2}\), \(b^{2}\) y, luego, simplificando el 2, tenemos que:
\( ab\) > \( \left | a b \right |\)
lo cual contradice la propiedad 2, según la cual \( \left | a\cdot b \right |=\left | a \right | \left | b \right |\).
Q.E.D.
Valor absoluto y las propiedades de la desigualdad – Ensamble de Ideas – Copyright MMXXII