La sucesión de Fibonacci: maravillados desde el año 1202.
Introducción
El presente informe girará en torno a la biografía, logros y obras de Leonardo de Pisa (Leonardo Bigollo), mejor conocido como Fibonacci, el gran matemático italiano famoso por haber difundido en Europa el sistema de numeración arábiga actualmente utilizado y por idear la Sucesión de Fibonacci, de importantísimo uso en las ciencias de la computación y de vital relevancia en la comprensión de caracteres biológicos y en el análisis matemático.
▲ Leonardo Bigollo (1170-1250), mejor conocido como Fibonacci.
¿Quién fue Fibonacci?
Para comenzar, es necesario describir algunos aspectos de su biografía. Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano o Leonardo Bigollo, también llamado Fibonacci, nació en 1170 y falleció en el año 1250. Recibió el seudónimo de Fibonacci debido a que el apodo de su padre, Guillermo, era Bonacci. Así, Leonardo recibió el apodo por fillius Bonacci. Su padre dirigía un puesto de comercio en Bugía, hacia el norte africano. Fibonacci viajó hasta esta ciudad argelina para ayudarlo y allí logró aprender el sistema de numeración árabe que luego difundiría en Europa, implementando la notación posicional (es decir, de base 10 o “decimal”) y un dígito de valor nulo (el cero).
Conciente de la superioridad de la numeración árabe, Fibonacci viajó a través de los países del Mediterráneo como aprendiz de los mejores y más renombrados matemáticos árabes de la época. Analizaremos con detalle los más importantes legados que sus libros nos han dejado.
En 1202, cuando Fibonacci tenía 32 años, escribe “Liber Abaci”. Este libro mostró la importancia del nuevo sistema de numeración aplicándolo a la contabilidad comercial, conversión de pesos y medidas, cálculos, intereses, cambio de moneda, y otras numerosas aplicaciones.
El libro fue revisado y aumentado en 1228. Se divide en quince capítulos. Un capítulo en especial está íntegramente dedicado a las funciones graduales; es decir, Fibonacci deja en claro que para todo an, se cumple la siguiente sumatoria:
En ellas basa una teoría de los números fraccionarios y, después de haberlas introducido en los cálculos numéricos abstractos, las vuelve un instrumento práctico para la obtención de números concretos.
Todas las fracciones se presentan a la manera egipcia, o sea, como suma de fracciones con numeradores unitarios y denominadores no repetidos. La única excepción es la fracción 2/3, que no se descompone, no por razones aritméticas, sino por razones filosóficas-religiosas.
En “Practica Geometriae” aborda problemas de geometría dimensional referente a figuras planas y sólidas. Es, sin duda, la obra más avanzada en su tipo que se encontraba en la época en Occidente.
En “Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometricam pertinentium” se abordan quince problemas de análisis determinado e indeterminado de primer grado. Dos de ellos habían sido propuestos como desafío a Leonardo por Juan de Palermo, matemático de la corte del emperador Federico II.
También de él hallamos “Carta a Teodoro”. Es una simple carta que Leonardo envía a Teodoro, astrólogo de la corte de Federico II. En ella se resuelven dos problemas. El primero es algebraico y consiste en encontrar objetos de diferentes proporciones. Estos objetos llevan los nombres de pájaros de diversas especies. Paul Ver Eecke, quien tradujo el “Liber Quadratorum” al francés desde el original latino de la edición de 1228, opina que pudo haber sido una cortesía hacia Federico II, que era aficionado a la caza con halcón, previendo que su carta sería llevada al príncipe. El segundo problema es geométrico-algebraico. Trata de inscribir en un triángulo isósceles un pentágono equilátero que tenga un lado sobre la base del triángulo y los otros dos sobre los restantes de éste. Lo reduce a una ecuación de segundo grado, dando un valor muy aproximado para el lado del pentágono en el sistema sexagesimal.
“Liber Quadratorum” es el último gran aporte a la matemática. Consta de veinte proposiciones. Éstas no consisten en una recopilación sistemática de las propiedades de los números cuadrados, sino una selección de las propiedades que llevan a resolver un problema de análisis indeterminado de segundo grado que le fuera propuesto por Teodoro.
A continuación, se analizará la más grande razón por la cual Leonardo es conocido: la renombrada Sucesión de Fibonacci.
Para comenzar, se dirá que la sucesión que ideó Fibonacci es:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…
La sucesión inicia con 0 y 1. Luego, cada elemento es el resultado de los dos anteriores.
Su gráfica, hasta f(10), es la siguiente:
Su fórmula general es:
Sus aplicaciones van desde ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos, hasta en biología y arquitectura. Más adelante se detallarán sus usos y dónde se encuentran.
El número áureo
En 1753, Robert Simson descubrió que la relación entre dos números de Fibonacci sucesivos fn+1/fn se acerca a la relación áurea φ cuanto más se acerque a infinito, siendo:
Este número es importantísimo. Se puede hallar en diversas estructuras y cuerpos. Algunos ejemplos son:
El cociente entre la altura de un humano y la distancia del ombligo a la mano es igual a φ. El cociente entre la longitud de un brazo y la distancia del codo a la punta del dedo medio es φ. La relación entre los falanges de los dedos es el número áureo. La relación entre la longitud de la cabeza y su anchura también es φ.
Ciertas flores tienen un número de pétalos que suelen ser términos de dicha sucesión; de esta manera el lirio tiene 3 pétalos, algunos ranúnculos 5 o bien 8, las margaritas y girasoles suelen contar con 13, 21, 34, 55 u 89. Las “hojas” de una piña de pino tienen, por regla general, una característica de 5/8 o bien 8/13, números Fibonacci, presentando propiedades similares las hojas de las lechugas, los pétalos de las flores, las ramas de las palmeras, el ficus, etc., ejemplos que se pueden comprobar fácilmente.
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que cumple con esta sucesión. El hecho es que los zánganos, el macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos, que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre (1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tataratatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así sucesivamente, cumpliendo con la sucesión de Fibonacci.
Se puede construir una serie de rectángulos usando los números de esta sucesión. Se empieza con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Se construye uno igual sobre él, obteniendo un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2×1. Sobre el lado de dos unidades, se construye un cuadrado y se obtiene un nuevo rectángulo de 3×2. Sobre el lado mayor se construye otro cuadrado, obteniendo un rectángulo de 5×3. Luego uno de 5×8, 8×13, 13×21… Cuanto más se avance, se aproximará más al rectángulo áureo. Si se unen los vértices de cada uno de estos rectángulos, se va formando una curva llamada “Espiral de Durero”, espiral que está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes, etc.
La sucesión de Fibonacci en la naturaleza
Las relaciones pueden hallarse también en las espirales de las galaxias. El Sistema Solar pareciera seguir este patrón: Mercurio (1), Venus (1), La Tierra (2, incluyendo la Luna), Marte (3, incluyendo Fobos y Deimos). Hasta aquí la semejanza, pues el planeta que sigue en el Sistema Solar (Júpiter) tiene más de 60 satélites conocidos. Sin embargo, sólo 4 de ellos son observables fácilmente (Io, Europa, Ganímedes y Calisto), dado que los otros son marcadamente más pequeños. Así, podemos extender hasta el número 5 la presencia de la serie de Fibonacci en nuestro Sistema Solar.
En arte, es posible ver que el “Hombre de Vitrubio”, el rostro de la Gioconda y la “Última Cena” están diseñados utilizando la proporción áurea; e incluso que el propio Partenón fue creado en base al número de oro. Se emplea en marketing para hacer más agradables a la vista determinados productos, como las cajas de cigarrillos.
Por último, es importante mencionar que los libros donde Fibonacci presenta sus estudios utilizan demostraciones del tipo retórico y usa segmentos de recta como representación de cantidades (por ejemplo, en “Liber Abaci”). Algunas proposiciones no están rigurosamente demostradas, sino que hace una especie de inducción incompleta, dando ejemplos prácticos y específicos, pero su dominio algorítmico es excelente y todo lo que afirma puede ser demostrado con las herramientas actuales. No se encuentran errores importantes si se hace excepción de la incompletitud de algunas demostraciones.
Conclusión
En conclusión, se puede decir que Fibonacci, obviamente sin saberlo, había hallado la llave de las relaciones entre la naturaleza misma y las matemáticas. Se dan por finalizados aquí los detalles, problemas y asombrosas cuestiones relacionadas con el fascinante mundo que Leonardo supo ver en aquellos siglos tan tempranos para las ciencias exactas, analizando lo sabido por los matemáticos indios, quienes habían investigado los patrones rítmicos que se formaban con sílabas o notas de uno o dos pulsos.
Por esta razón, sus libros son un gran aporte a la historia de la matemática y deben ser estudiados para comprender los enormes avances que conllevan.