MRUV: Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado – Aceleración.

Introducción al MRUV

En este artículo charlaremos sobre el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado (MRUV), uno de los pilares fundamentales de la cinemática. Al igual que el MRU, este movimiento es válido para movimientos que ocurren en línea recta, es decir, movimientos que no sean curvilíneos.

Aceleración

Imagínate yendo en colectivo por una calle muy poco transitada. Estás sentado tranquilo escuchando tus canciones favoritas, pero de repente el chofer ve un obstáculo delante y pisa, casi como sin persarlo, los frenos, en un acto-reflejo por no atropellar lo que divisó adelante. Seguramente experimentarás un “empujoncito” hacia adelante, producto de la inercia. Lo que sucedió fue una brusca desaceleración del colectivo producto del cambio de velocidad.

Es así que estamos en condiciones de hablar de un concepto muy útil para la física clásica: la aceleración. La aceleración no es más ni menos que una variación de la velocidad en un determinado intervalo de tiempo. Seguramente sepas, a estas alturas, definir el concepto de velocidad. Si no lo recuerdas, te refrescamos la memoria: la velocidad era el cambio de posición respecto del tiempo. Como verás, las definiciones son muy similares. Sólo que el concepto de aceleración requiere de un cambio de velocidad (como el que sufrió el colectivo del ejemplo): llevabas una velocidad constante y de repente -¡zas!- la velocidad cambió hacia una mucho menor, lo que hizo que el colectivo frenara.

No sólo se presenta aceleración al estar frenando un móvil. También se presenta cuando un cuerpo está incrementando su velocidad. Así, por ejemplo, el señor colectivero podría pisar el acelerador para ir más veloz en una avenida. Ambos casos son, sin duda, claros ejemplos de un movimiento rectilíneo uniformemente variado.

¿Qué es el Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado?

En estos movimientos, comúnmente nombrados como MRUV, se presenta la característica de que son rectilíneos (es decir, el móvil se mueve en línea recta) y que presentan aceleración constante. Esto es diferente al MRU, que presentaba la característica de que la velocidad era constante, aunque el movimiento también se daba en línea recta. Hay múltiples ejemplos de MRUV en la vida cotidiana, tales como una bicicleta que está frenando, un tren que se pone en marcha desde una estación o una roca siendo lanzada al piso desde un edificio.

¿Cómo se calcula la aceleración?

Matemáticamente, de acuerdo a su definición, la aceleración es sencilla de calcular:

\( \vec{a}= \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}\)

Que es lo mismo que decir:

▲ ECUACIÓN 1

…en donde \( \vec{a}\) es la aceleración del móvil; \( v_{f}\) es la velocidad final del móvil; \( v_{i}\) es la velocidad inicial del móvil; \( t_{f}\) es el tiempo final; y \( t_{i}\) es el tiempo inicial.

Ejemplo:

1. Calcular la aceleración de un móvil que parte del reposo (es decir, su velocidad inicial es 0 m/s) y al cabo de 4 segundos adquiere una velocidad de 12 m/s.

Aplicando la ecuación 1:

\( a= \frac{{12\frac{m}{s}}-0\frac{m}{s}}{4 s-0s}=3\frac{m}{s^{2}}\)

Les comparto un video en donde se explican estos temas y cómo obtener magnitudes como la velocidad final a partir de la aceleración y el tiempo de un móvil.

Velocidad Final en un MRUV

En base a la fórmula de la aceleración vista en el apartado anterior, podemos despejar directamente el valor de la velocidad final, tal como se muestra en el video anexado anteriormente.

Es decir, despejando \( v_f\) desde la ecuación 1, nos queda:

▲ Ecuación 2

Gracias a esta ecuación, podemos hallar la velocidad que tendrá un móvil en cierto tiempo, conociendo su aceleración.

Ejemplo:

Un objeto se mueve en línea recta con una aceleración de 12 m/s². Si el tiempo inicial contabilizado con el cronómetro fue de 2,3 segundos y el objeto presentaba una velocidad inicial de 1,3 m/s. ¿Qué velocidad final alcanzó a los 36 segundos?

En primer lugar, hagamos un mapeo de datos:

\( v_f=?\)
\( v_i=1,3 \frac{m}{s}\)
\( a=12 \frac{m}{s^2}\)
\( t_i=2,3 seg\)
\( t_f=36seg\)

Luego, apliquemos la Ecuación 2, reemplazando los datos.

\( v_f=v_i+a\cdot (t_{f}-t_{i})\)
\( v_f=1,3 \frac{m}{s}+12 \frac{m}{s^2}\cdot (36seg-2,3seg)\)
\( v_f=405,7\frac{m}{s}\)

Por lo tanto, podemos decir que la velocidad que alcanza a los 36 segundos es de 405,7m.

Ecuación Horaria del MRUV

¿Recuerdan que la ecuación horaria de un movimiento nos indica la posición exacta del móvil en cada valor de tiempo t? El MRUV también cuenta con su ecuación horaria. Conociendo los datos de posición inicial, velocidad inicial, tiempo inicial y aceleración, la ecuación horaria del MRUV nos queda:

▲ Ecuación 3

Sí, sé que es horriblemente largo, pero es muy útil para calcular posiciones de un objeto cuyas características sabemos de antemano. Y, por cierto, nos será útil para realizar encuentros, tiros oblicuos o caídas verticales, temas que veremos más adelante. Hagamos un ejemplo de aplicación de la ecuación horaria del MRUV.

Ejemplo:

Un automóvil circula en línea recta por una calle. El automóvil presenta las siguientes características:

\( v_i=4,3 \frac{m}{s}\)
\( a=8 \frac{m}{s^2}\)
\( x_i=1,9m\)

Conociendo estos datos, ¿en qué tiempo logrará alcanzar la posición \( x_f=123m\)? Recordar que, si no se indica el tiempo inicial en el enunciado, asumimos que vale 0 segundos.

Simplemente debemos utilizar la Ecuación 3 para calcular el tiempo en que llega a la posición \( x_f=123m\). ¡Pero cuidado! Al momento de tener que despejar t, nos daremos cuenta que estamos en presencia de una ecuación cuadrática (sí, esas espantosas ecuaciones que utilizan una fórmula resolvente para poder hallar los valores buscados). Veamos:

\( x_f=x_i+v_i\cdot (t_{f}-t_{i})+\frac{1}{2}\cdot a\cdot (t_{f}-t_{i})^{2}\)

Reemplacemos datos:

\( 123m=1,9m+4,3 \frac{m}{s}\cdot (t_{f})+\frac{1}{2}\cdot 8 \frac{m}{s^2}\cdot (t_{f})^{2}\)

Realizamos las cuentas que podamos:

\( 123m=1,9m+4,3 \frac{m}{s}\cdot (t_{f})+4 \frac{m}{s^2}\cdot (t_{f})^{2}\)
Ecuación 4.

Llegado este punto, deberemos recordar que la fórmula resolvente de las ecuaciones cuadráticas tenían esta pinta:

\( t_{1;2}=-b\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}\)

Para poder hallar los valores de \( t_{1;2}\), debemos saber correctamente quién es a, quién es b y quién es c. En una ecuación cuadrática, a está presente en el término cuadrático, b está presente en el término lineal y c es el término independiente. Es decir, toda ecuación cuadrática tiene la forma:

\( 0=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c\)

En nuestro caso, nuestra incógnita no es x, sino el tiempo t. Sabiendo esto, debemos tomar la ecuación 4 y reescribirla, pasando los 123m que se encuentran a la izquierda de la igualdad hacia la derecha, restando:

\( 123m=1,9m+4,3 \frac{m}{s}\cdot (t_{f}-)+4 \frac{m}{s^2}\cdot (t_{f})^{2}\)
\( 0=1,9m+4,3 \frac{m}{s}\cdot (t_{f})+4 \frac{m}{s^2}\cdot (t_{f})^{2}-123m\)

Realizando los cálculos que podamos:

\( 0=4,3 \frac{m}{s}\cdot (t_{f})+4 \frac{m}{s^2}\cdot (t_{f})^{2}-121,1m\)

Analizando la ecuación, podemos ver que el término que acompaña a \( (t_{f})^{2}\) es \(4 \frac{m}{s^2}\). Este último valor será nuestro a. El término que acompaña a \( t_{f}\) es \(x 4,3 \frac{m}{s}\). Este último valor será nuestro b. Por último, -121,1m será nuestro c.

En conclusión:

\( a=4 \frac{m}{s^2}\)
\( b=4,3 \frac{m}{s}\)
\( c=-121,1m\)

Reemplanzando los datos en nuestra fórmula resolvente:

\( t_{1;2}=-b\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}\)
\( t_{1;2}=-4,3 \frac{m}{s}\pm \frac{\sqrt{(4,3 \frac{m}{s})^{2}-4\cdot 4 \frac{m}{s^2}\cdot -121,1m}}{24 \frac{m}{s^2}}\)

Esto nos devuelve dos valores:

\( t_{1}=4,99 seg\)
\( t_{2}=-6,06seg\)

El valor negativo del tiempo se descarta por ser imposible físicamente y nos quedamos con el valor positivo. Por lo tanto, la respuesta es: \( t_{1}=4,99seg\).

Actividades (con respuestas)

En los casos que se permita, puedes hacer click en la flecha de “desplegar” para ver la respuesta.

1. ¿A qué llamamos MRUV?
2. ¿Cuáles son sus características principales?
3. ¿Qué diferencias y semejanzas presenta con el MRU?
4. ¿Cómo se calcula matemáticamente la aceleración? [expand title=”Haz click para ver el procedimiento y la respuesta.” swaptitle=”Haz click aquí para contraer.”] La aceleración se calcula mediante la expresión: \( \vec{a}= \frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{i}}\) [/expand]
5. ¿Cuál es la aceleración de un móvil que en 45 segundos alcanzó una velocidad de 32 m/s si partió desde el reposo? [expand title=”Haz click para ver la respuesta.” swaptitle=”Haz click aquí para contraer.”]La aceleración del móvil es de 0,71 m/s².[/expand]
6. Un móvil tiene una velocidad de 2 m/s. Cuando pasan 23 segundos, el móvil tiene una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál fue su aceleración? [expand title=”Haz click para ver la respuesta.” swaptitle=”Haz click aquí para contraer.”]La aceleración del móvil fue de 0,43 m/s².[/expand]
7. La aceleración de un cuerpo es de \( 5,5\frac{m}{s^{2}}\). Si alcanzó una velocidad de 24 m/s desde el reposo, ¿en cuánto tiempo lo hizo? [expand title=”Haz click para ver la respuesta.” swaptitle=”Haz click aquí para contraer.”]Lo hizo en un tiempo de 4,36 segundos.[/expand]
8. La aceleración de un cuerpo es de \( 5,5\frac{m}{s^{2}}\). Si la velocidad inicial era de 3,2 m/s y experimentó un cambio de velocidad en cuestión de 45 segundos, ¿cuál fue su velocidad final? [expand title=”Haz click para ver la respuesta.” swaptitle=”Haz click aquí para contraer.”]La velocidad final fue de 250,7 m/s.[/expand]
9. Un coche se mueve con una velocidad constante de 60 km/h durante 2 horas. ¿Cuál es la distancia recorrida?
10. Un avión despega y alcanza una velocidad de 300 km/h en 10 segundos. ¿Cuál es su aceleración?
11. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 10 m/s. Si su aceleración es de 5 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en detenerse?
12. Un tren acelera de 0 a 60 km/h en 20 segundos. ¿Cuál es su aceleración?
13. Un cohete despega con una aceleración constante de 20 m/s² durante 5 segundos. ¿Cuál es su velocidad al final de este tiempo?
14. Un coche se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 40 km/h. Si su aceleración es de 10 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 60 km/h?
15. Un ciclista se mueve con una velocidad de 20 m/s durante 5 segundos. Si su aceleración es de 2 m/s², ¿cuál es su desplazamiento durante este tiempo?
16. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 10 m/s. Si su aceleración es de -2 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en detenerse?
17. Un coche se mueve con una velocidad constante de 80 km/h durante 4 horas. ¿Cuál es la distancia recorrida?
18. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 5 m/s. Si su aceleración es de 2 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en alcanzar una velocidad de 15 m/s?
19. Un avión despega y alcanza una velocidad de 200 km/h en 20 segundos. ¿Cuál es su aceleración?
20. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 10 m/s. Si su aceleración es de 2 m/s², ¿cuál es su velocidad después de 5 segundos?
21. Un tren se mueve con una velocidad constante de 100 km/h durante 2 horas. ¿Cuál es la distancia recorrida?
22. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 20 m/s. Si su aceleración es de -5 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en detenerse?
23. Un coche se mueve con una velocidad de 60 km/h. Si su aceleración es de 5 m/s², ¿cuánto tiempo tarda en detenerse?
24. Un objeto se mueve a lo largo de una recta con una velocidad de 10 m/s. Si su aceleración es de 2 m/s², ¿cuál es su desplazamiento después de 5 segundos?
25. Un avión despega y alcanza una velocidad de 400 km/h en 30 segundos. ¿Cuál es su aceleración?

Clave de respuestas (ejercicios 9 a 25)

9. 120 km

10. 30 m/s²

11. 2 s

12. 3 m/s²

13. 100 m/s

14. 2 s

15. 50 m

16. 5 s

17. 320 km

18. 5 s

19. 10 m/s²

20. 20 m/s

21. 200 km

22. 4 s

23. 12 s

24. 60 m

25. 13,3 m/s²

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