RAPIDEZ de SALIDA DE UN FLUIDO: El Teorema de Torricelli + 6 ejercicios resueltos.
Introducción
En este artículo de Mecánica de Fluidos, veremos cómo calcular la rapidez de salida de un fluido por un recipiente. Lo interesante de este tema es que podemos, aplicando la misma lógica y razonamiento, casos en que tenemos un contenedor de líquidos con una apertura por debajo del recipiente (como un tanque que tiene un agujero en su parte inferior, tal como se observa en la figura 1) o un recipiente que presenta un agujero en sus paredes (como se observa en la figura 2).
Separemos nuestro estudio en ambos casos.
¿Qué es la mecánica de fluidos?
La mecánica de fluidos es una rama de la física que se encarga del estudio del comportamiento de los fluidos (líquidos y gases) en reposo o en movimiento. Se ocupa de describir cómo los fluidos se mueven y cómo interactúan con su entorno.
La mecánica de fluidos se aplica en una amplia variedad de áreas, desde la ingeniería civil y mecánica hasta la medicina y la biología. Algunos de los temas estudiados en mecánica de fluidos incluyen la dinámica de fluidos (movimiento de los fluidos), la cinemática de fluidos (velocidad y aceleración del fluido), la termodinámica de fluidos (transferencia de calor en fluidos), y la mecánica de fluidos computacional (uso de herramientas computacionales para simular el comportamiento de los fluidos).
Rapidez de salida en un recipiente con agujero (en paredes laterales o inferior)
La figura 1 muestra un recipiente con un área transversal A, lleno de un fluido hasta la altura que llamaremos h. El espacio de arriba del tanque está a presión atmosférica \( p_{1}\) y el fluido sale por un tubo de área \( A_{2}\) . Intentemos obtener una expresión para la velocidad de salida.
El punto 1 podemos ubicarlo en la superficie del líquido. Allí, la presión será llamada \( p_{1}\) y la velocidad del fluido será \( v_{1}\) . El punto 2 estará ubicado a la salida del tanque. Allí, llamaremos \( v_{2}\) a la rapidez de salida y su presión será denominada como \( p_{2}\) . Podemos establecer como \( h=0\) a nivel del punto 2, por lo que la altura del punto 1 será igual a h.
Debido a que el área 1 es mucho mayor que el área 2, podemos decir que el nivel de fluido en el tanque bajará con mucha lentitud. Podríamos decir que la velocidad en 1 es cero (prácticamente, \( v_{1}=0\) ).
Otra consideración importante será la siguiente:
La rapidez de salida dependerá de varios factores. Pero… ¿de cuáles? Para ello, planteemos el Principio de Bernoulli.
Principio de Bernoulli
\( p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}=p_{2}+\delta \cdot g\cdot h_{2}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{2}^{2} \)
Vemos que, por supuesto, la velocidad \( v_{2}\) dependerá de la gravedad y la densidad del fluido. Lo que no es tan evidente y debemos siempre tener en cuenta es que dicha velocidad dependerá de la diferencia de presiones \( \Delta p \) entre el punto superior y el inferior, es decir, depende de \( \Delta p = p_{2}-p_{1}\) , y también de la altura h del líquido.
En este punto, contamos con mucha información que nos hará trabajar fácilmente con la Ecuación de Bernoulli. Vayamos paso por paso.
Primero, empecemos desde la Ecuación original:
\( p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}=p_{2}+\delta \cdot g\cdot h_{2}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{2}^{2} \)
Despejamos el cuadrado de la velocidad del fondo del recipiente:
\( \frac{p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}+\frac{1}{2}\cdot \delta \cdot v_{1}^{2}-p_{2}-\delta \cdot g\cdot h_{2}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2}\)
Sabemos que \( h_{2}=0\) y que \(v_{1}=0\) , por lo que:
\(\frac{p_{1}+\delta \cdot g\cdot h_{1}-p_{2}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2} \)
Si consideramos que tanto arriba como abajo el recipiente se encuentra a presión atmosférica (es decir, \( p_{1}=p_{2}=p_{atm}\) , por lo que \( \Delta p =0\) ), podemos anular las presiones:
\( \frac{\delta \cdot g\cdot h_{1}}{\frac{1}{2}\cdot \delta }=v_{2}^{2}\)
Reordenando (recordemos que \( \frac{1}{\frac{1}{2}}=2\) ) y eliminando \( \delta\) porque aparece tanto en el numerador como en el denominador:
\( 2\cdot g\cdot h_{1}=v_{2}^{2}\)
Obtenemos la raíz cuadrada para despejar la rapidez de salida:
\( v_{2}=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}}\)
¡Y listo! Hemos obtenido la expresión de la velocidad de salida de un fluido! ¿No notas algo similar? En una caída libre, la velocidad con la que un móvil toca el suelo presenta la misma expresión, siendo h la altura desde que se tira dicho móvil. Este resultado es conocido como Teorema de Torricelli y es válido no sólo para un tanque que tiene una abertura por abajo, sino también por los costados del recipiente.
Tasa de flujo de volumen en un recipiente con desagüe
Calcular la tasa de flujo de volumen en un recipiente que presenta un desagüe, ya sea inferior o lateral, es muy sencillo, aplicando el Teorema de Torricelli y el Principio de Continuidad.
Sabemos que el caudal debe mantenerse constante en el tiempo, es decir que el caudal en el punto superior debe ser igual al caudal en el punto inferior. Por lo tanto:
\( C_{1}=C_{2}\)
Como \( C=A\cdot v\) , podemos establecer la relación:
\( C= A_{2} \cdot v_{2}\)
Dado que \( v_{2}=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}}\) (por lo que dedujimos antes), entonces:
\( C= A_{2} \cdot \sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}}\)
¡Esperamos que te sea de utilidad!
Actividades
- Un tanque tiene una capacidad de 1000 litros y está lleno de agua. El desagüe del tanque tiene un diámetro de 5 cm y una longitud de 50 cm. Si el flujo de agua que sale del desagüe es de 2 litros por minuto, ¿cuánto tiempo tardará el tanque en vaciarse por completo?
- Un tanque cónico tiene una altura de 5 metros y un diámetro de base de 4 metros. El desagüe del tanque está en la parte inferior y tiene un diámetro de 5 cm. Si el flujo de agua que sale del desagüe es de 1 litro por minuto, ¿cuál es la tasa de flujo de volumen del agua que sale del tanque?
- Un tanque tiene una capacidad de 500 litros y está lleno de una solución salina. El desagüe del tanque tiene un diámetro de 2 cm y una longitud de 20 cm. Si la concentración de sal en la solución es de 0.1 g/ml y el flujo de agua que sale del desagüe es de 1 litro por minuto, ¿cuál es la tasa de flujo de sal que sale del tanque?
- Un tanque cilíndrico de 2 metros de altura y 1 metro de diámetro está lleno de agua hasta una altura de 1,5 metros. Si hay un agujero circular de 3 centímetros de diámetro en la parte inferior del tanque, ¿a qué rapidez saldrá el agua del agujero? Suponga que la velocidad del agua en el agujero es la misma que la del fluido en la superficie del tanque.
- Se tiene un tanque cónico con una altura de 5 metros y un radio de 3 metros en la base. Si el tanque está lleno de aceite hasta una altura de 4 metros y hay un agujero circular de 2 centímetros de diámetro en la parte inferior del tanque, ¿a qué rapidez saldrá el aceite del agujero? Suponga que la velocidad del aceite en el agujero es la misma que la del fluido en la superficie del tanque.
- Un tanque rectangular tiene una altura de 1 metro, una longitud de 2 metros y una anchura de 0,5 metros. El tanque se llena hasta una altura de 80 centímetros con agua y hay un agujero rectangular de 5 centímetros de ancho y 10 centímetros de alto en una de las paredes laterales del tanque.
Si la velocidad del agua en el agujero es la misma que en la superficie del agua del tanque, ¿a qué rapidez saldrá el agua del agujero?
Clave de respuestas:
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La tasa de flujo de volumen de agua que sale del desagüe es de 2 litros por minuto. Si el tanque tiene una capacidad de 1000 litros, tardará 500 minutos (o 8 horas y 20 minutos) en vaciarse por completo. Esto se puede calcular dividiendo la capacidad del tanque entre la tasa de flujo de volumen: 1000 L / 2 L/min = 500 min.
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El volumen del tanque cónico se puede calcular con la fórmula V = (1/3)πr²h, donde r es el radio de la base y h es la altura del cono. En este caso, el radio es de 2 metros (la mitad del diámetro de la base) y la altura es de 5 metros. Por lo tanto, el volumen del tanque es de aproximadamente 20,94 metros cúbicos.
La tasa de flujo de volumen de agua que sale del tanque se puede calcular multiplicando el área del desagüe por la velocidad del agua: A = (π/4)d² = (π/4)(0,05²m²) ≈ 0,00196 m². Por lo tanto, la tasa de flujo de volumen es de 0.00196 m²/minuto * 1 litro/1000 cm³ * 60 segundos/minuto ≈ 0,0702 litros por segundo. -
El volumen de sal en la solución se puede calcular multiplicando la concentración de sal por el volumen de la solución: V_sal = 0,1 g/ml * 500 litros = 50 gramos. La tasa de flujo de sal que sale del tanque se puede calcular multiplicando la tasa de flujo de volumen de agua por la concentración de sal: 1 litro/minuto * 0.1 g/ml = 0,1 gramos/minuto. Por lo tanto, la tasa de flujo de sal es de 0,1 gramos por minuto, o aproximadamente 0,00167 gramos por segundo.
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La velocidad de salida del agua se puede calcular usando la ecuación de Torricelli, que relaciona la velocidad de salida con la altura del líquido en el tanque: v = √(2gh), donde v es la velocidad de salida, g es la aceleración debido a la gravedad (9,81 m/s²), y h es la altura del líquido en el tanque medida desde el centro del agujero. En este caso, h = 1,5 metros. Por lo tanto, la velocidad de salida es v = √(2 * 9,81 m/s² * 1,5 m) ≈ 3,83 m/s. Convertido a unidades de litros por segundo (L/s), la velocidad de salida es de aproximadamente 38,37 L/s.
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Al igual que en el ejercicio anterior, la velocidad de salida del aceite se puede calcular con la ecuación de Torricelli. En este caso, h = 4 metros, por lo que la velocidad de salida es v = √(2 * 9,81 m/s² * 4 m) ≈ 8,85 m/s. Convertido a unidades de litros por segundo (L/s), la velocidad de salida es de aproximadamente 185,37 L/s.
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La velocidad de salida del agua se puede calcular con la ecuación de Bernoulli, que relaciona la velocidad del agua en el agujero con la presión del líquido en la superficie del tanque: v = √(2gh), donde v es la velocidad de salida, g es la aceleración debido a la gravedad (9,81 m/s²), h es la altura del líquido sobre el agujero, y la presión en la superficie del agua es P = ρgh, donde ρ es la densidad del agua (1000 kg/m³).
En este caso, h = 0,8 metros (la diferencia de altura entre el agua y el agujero), por lo que la presión en la superficie del agua es P = 1000 kg/m³ * 9,81 m/s² * 0,8 m ≈ 7848 Pa. La velocidad de salida es entonces v = √(2 * 7848 Pa / 1000 kg/m³) ≈ 3,53 m/s. Convertido a unidades de litros por segundo (L/s), la velocidad de salida es de aproximadamente 17,67 L/s.
NTICx en la escuela
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