Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) + 2 ejemplos de Velocidad y Ecuación Horaria
¡Hola a todos nuevamente! Decidí escribir este artículo sobre Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU) para tratar de resumir los conceptos principales de este tema de la Cinemática. Empecemos justamente por entender el concepto de cinemática.
¿Qué es la cinemática?
La cinemática es la rama de la ciencia que estudia los movimientos de un cuerpo, desestimando quién los produce. La otra rama de la ciencia que intenta explicar los movimientos, pero sí analizando quién los produce, es llamada Dinámica, tema que veremos más adelante en artículos como éste o éste.
¿Qué es el MRU (Movimiento Rectilíneo Uniforme)
Sabiendo esto, ya estamos en condiciones de pensar: ¿qué es el Movimiento Rectilíneo Uniforme? El Movimiento Rectilíneo Uniforme, también dicho MRU para simplificar, es el movimiento que cumple las siguientes características:
1. Es rectilíneo, es decir, el movimiento siempre sucede en línea recta, como una calle o una ruta, por lo que no es aplicable a movimiento curvilíneos, como el movimiento circular de una persona que se sube a una rueda de la fortuna en un parque de diversiones.
2. Su velocidad es constante. Esto significa que el valor de la velocidad siempre se mantiene estable durante todo el movimiento. Si la velocidad del móvil es 23 m/s, entonces será 23 m/s durante todo el recorrido.
¡Comencemos! Para empezar a estudiar el MRU, debemos hablar en términos de velocidad. ¿Quieres ver y escuchar esta explicación? Te dejo este video en donde explico las características generales del MRU y cómo calcular velocidades:
Velocidad
La velocidad de un móvil se define de acuerdo a la siguiente ecuación:
\( v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}\)
(Ecuación 1)
¿Qué es todo eso, profe? Tranquilo. Veamos parte por parte cada cosa:
\( v\) representa la velocidad.
\( x_i\) representa la posición inicial. Es decir, “¿desde dónde?”
\( x_f\) representa la posición final del objeto. Es decir, “¿hacia dónde llega?”
\( t_i\) indica el tiempo inicial del movimiento. Es decir, “¿desde cuándo?
\( t_f\) indica el tiempo final del movimiento. Es decir, ¿hasta cuándo?
Ejemplo 1: cálculo de velocidad
Un auto va circulando por una ruta con una velocidad de desconocida. En cierto momento, Juan inicia su cronómetro y comienza a jugar con su hermano. A los 4 segundos de haber iniciado el cronómetro, observa al auto pasar, el cual recorre 35 metros hasta que el cronómetro marca 12 segundos. ¿Cuál es la velocidad del auto?
Como primer paso, te sugiero que escribas los datos que aparecen en el enunciado. Yo los marqué con negrita para verlo fácilmente.
\( v=?\) (velocidad desconocida);
\( x_i = 0m\) (el enunciado no especifica una posición inicial, por lo tanto, aseguramos que es cero metros);
\( x_f = 35m\) representa la posición final del objeto;
\( t_i=4 seg.\) indica el tiempo inicial del auto (observar que el cronómetro ya estaba encendido y marcó este tiempo desde el momento en que se empezó a estudiar el fenómeno):
\( t_f=12seg\) indica el tiempo final del movimiento cuando el auto alcanzó la posición final.
Sabiendo los datos, sólo debemos reemplazarlos en la ecuación de velocidad del MRU (Ecuación 1)
\( v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}\)
\( v=\frac{35m-0m}{12seg-4seg}\)
\( v=4,38m/s\)
Y así, hemos calculado la velocidad utilizando la ecuación de la velocidad.
¡Ahora sí: a estudiar el MRU!
Ecuación Horaria del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)
Una vez que ya aprendimos a calcular velocidades, sólo debemos concentrarnos en estudiar lo que se llama “Ecuación Horaria del Movimiento Rectilíneo Uniforme (MRU)“. ¿Por qué un nombre tan largo, no? La ecuación horaria nos permite calcular exactamente la posición de un cuerpo sabiendo el tiempo en que realizó el recorrido.
¿Qué sucede si tu docente ahora te pide escribir la ecuación horaria de un objeto, en particular,m el del ejemplo 1?
Antes de escribirla, expliquemos un poco de dónde sale la Ecuación Horaria. Seguramente tu profesor/a no te pedirá realizar este despeje que verás a continuación, por lo que podés saltar directamente a la resolución, pero nunca esta demás aprender algo nuevo y poder explicar mejor las cosas que utilizás.
La idea es despejar \( x_f\). En primer lugar, tomemos la Ecuación 1 escrita nuevamente:
\( v=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}\)
Ahora, podemos pasar multiplicando para la izquierda el denominador de la ecuación anterior. Es decir, \( t_f-t_i\).
\(v\cdot (t_f-t_i)=x_f-x_i\)
Noten que he puesto paréntesis a \( t_f-t_i\) porque toda eso está multiplicando a la velocidad. A continuación, pasemos el \( x_i\) -que está restando- hacia la izquierda, de manera que sume:
\( v\cdot (t_f-t_i)+x_i=x_f\)
¡Ya casi estamos! Podemos dejarlo así, o bien ordenar la ecuación anterior dando vuelta la igualdad, de todas maneras es lo mismo. Es decir:
\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
(Ecuación 2: Ecuación Horaria del MRU)
Antes de ver ejemplo, te recomiendo ver el video donde explico esto paso a paso:
Ahora sí, pasemos al ejemplo:
Ejemplo 2: Ecuación Horaria del MRU
La ecuación horaria es muy útil pues nos proporciona una forma rápida de analizar el movimiento con sólo ver la ecuación horaria. ¿Te animas a escribir la ecuación horaria del ejemplo 1?
Para eso, te invito a leer nuevamente el enunciado?
Un auto va circulando por una ruta con una velocidad de desconocida. En cierto momento, Juan inicia su cronómetro y comienza a jugar con su hermano. A los 4 segundos de haber iniciado el cronómetro, observa al auto pasar, el cual recorre 35 metros hasta que el cronómetro marca 12 segundos. ¿Cuál es la velocidad del auto?
Ejemplo 1.
Sabemos que la respuesta es \( v=4,38\frac{m}{s}\). Otros datos dados son: \( x_i = 0m\); \( x_f = 35m\); \(t_i=4 seg\); y \( t_f=12seg\).
Lo que tenemos que hacer es muy simple. Solamente reescribir la Ecuación 2 y sustituir por los datos con los que ya contamos. ¡Pero no todos! \( x_f\) y \( t_f\) deberán permanecer así, en forma de “letras” o “incógnitas”. La ecuación horaria debe tener esas dos variables sin ser reemplazadas por valores. ¿Ok?
Entonces, tomemos la Ecuación 2:
\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
Y ahora sólo reemplacemos \( x_i\), \( v\), \( t_i\)], dejando sin reemplazar \( x_f\), \( t_f\).
\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
\( x_f=0m+4,38\frac{m}{s}\cdot (t_f-4seg)\)
Ahora, sólo hagamos las cuentas que se puedan hacer. En este caso, sólo eliminamos los 0m.
\( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (t_f-4seg)\)
¡Y listo! Ésa es la Ecuación Horaria del MRU para nuestro ejemplo.
¿Para qué sirve? Simplemente imagínate que quieres saber la posición del auto a los 50 segundos. No es necesario que hagas todas las cuentas nuevamente, simplemente agarras la ecuación horaria y reemplazas \( t_f\) por 50 segundos. Haces la cuenta y ya tienes la respuesta:
\( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (50seg-4seg)=201,48m\).
Y así con cualquier tiempo.
Gráficos de posición en función del tiempo en un MRU
Para realizar un gráfico de la posición en función del tiempo, debemos tener en cuenta que la ecuación horaria no es más ni menos que una ecuación lineal, escrita de otra forma.
En matemática, las funciones lineales son funciones polinómicas de primer grado, que arrojan un valor numérico presentando una relación entre dos variables: x e y. Toda función lineal tiene la siguiente pinta:
y = m . x + b
…en donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.
En física, podemos analizar la ecuación \( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\) como una función lineal. Para ello, reestructuremos la ecuación horaria.
\( x_f=x_i+v\cdot (t_f-t_i)\)
\( x_f=v\cdot (t_f-t_i)+x_i\)
Lo único que hemos hecho fue intercambiar de lado las sumas de la derecha de la ecuación.
Con \( t_i=0 seg\), nos queda:
\( x_f=v\cdot (t_f)+x_i\)
Como verán, \( x_f\)equivale a nuestra y matemática; \( v\) es la pendiente; \( t_f\) es la x en matemática; y \( x_i\) es b, la ordenada al origen:
Sabiendo esto, es muy fácil graficar la posición en función del tiempo.
Simplemente armamos una tabla, en donde a la izquierda colocamos diferentes valores de \( t_f\)y a la derecha colocamos la fórmula de la ecuación horaria, tomándonos el tiempo de reemplazar\( t_f\) por el valor que hallamos colocado en la primera columna. A continuación, se calcula el valor de \( x_f\). Estos valores serán graficados como cualquier función lineal en un par de ejes cartesianos.
¡Momento! Un poco más despacio. Primero, armamos la tabla colocando dos columnas, con el tiempo final y con la posición final. Algo así:
| \( t_f\) | \( x_f\) |
|---|---|
Luego, completamos la columna de tiempo final con valores diferentes. Asegúremosnos que estos valores se encuentren entre el tiempo inicial y el tiempo final de nuestro movimiento.
| \( t_f\) | \( x_f\) |
|---|---|
| 5 seg | |
| 6 seg | |
| 7 seg | |
| 8 seg | |
| 9 seg |
Para llenar la columna de \( x_f\), debemos tomar la ecuación horaria de nuestro movimiento y, a continuación, resolver las cuentas reemplazando los valores elegidos de \( t_f\) en donde corresponda en la ecuación. Utilizaré el ejemplo 1 para explicar cómo realizarlo: \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (t_f-4seg)\).
| \(x t_f\) | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (t_f-4seg)\) |
|---|---|
| 5 seg | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (5 seg-4seg)\) \( x_f=4,38m\) |
| 6 seg | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (6 seg-4seg)\) \( x_f=8,76m\) |
| 7 seg | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (7 seg-4seg)\) \( x_f=13,14m\) |
| 8 seg | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (8 seg-4seg)\) \( x_f=17,52m\) |
| 9 seg | \( x_f=4,38\frac{m}{s}\cdot (9 seg-4seg)\) \( x_f=21,90m\) |
Por último, sólo graficamos la posición en función del tiempo con los valores obtenidos anteriormente:
Les dejo el siguiente video en dónde se explica paso a paso cómo hacerlo:
Gráfico de la velocidad en función del tiempo en un MRU
Es muy sencillo graficar la velocidad del móvil en función del tiempo en un Movimiento Rectilíneo Uniforme, debido a que la velocidad siempre es constante. Por esa razón, sólo basta con hallar la velocidad y trazar una recta constante en el tiempo, desde \( t_i\) hasta \( t_f\).
De esta manera, hagamos el gráfico para el Ejemplo 1:
La velocidad calculada era de \( v=4,38m/s\). En un gráfico de velocidad en función del tiempo, debemos ubicar este valor en el eje de las ordenadas (eje y) y, luego, trazar la recta de \( t_i\) hasta \( t_f\). Listo. Así de sencillo:
Noten que el gráfico es sólo un valor constante (se mantiene en el tiempo), es decir, es igual para cada tiempo. Esto sucede porque la velocidad es constante en todo MRU.
Desplazamiento
Les dejo el siguiente video con la explicación referida a Desplazamiento.
Actividades
1. ¿Cuál es la velocidad de un móvil que alcanza \( x_{f} =56 metros \) si el tiempo final marcado por el cronómetro fue de 34 segundos, sabiendo que el tiempo inicial del movimiento fue de 10 segundos?
2. Escribir la ecuación horaria del movimiento anterior.
3. Graficar la posición en función del tiempo del movimiento anterior.
4. Graficar la velocidad en función del tiempo del movimiento anterior.
5. ¿Cuánto vale el desplazamiento del cuerpo?
Clave de respuestas
1. Velocidad = 2,33 m/s.
2. \( x_f=2,33\frac{m}{s}\cdot (t_{f}-10seg)\)
5. El desplazamiento vale 55,2m