Límites Indeterminados del tipo “0/0”
Cuando nos encontramos calculando límites, podemos caer en lo que hemos de llamar “indeterminaciones”, que deben ser salvados. Los casos de indeterminaciones son múltiples. Sin embargo, en este artículo nos ocuparemos de estudiar aquellos límites cuyo resultado nos da “0/0”, lo cual debe ser salvado.
Existen diversas formas de salvar una indeterminación del tipo “0/0”. He aquí algunas de ellas. Para una mejor organización, hemos separado los ejemplos que se nos pueden presentar en tres grandes grupos.
¡Comencemos!
Límites con factorizaciones
Los límites con factorizaciones son casos simples en las que pueden aplicarse trucos como cuadrado de un binomio, cubo de un binomio, factorización de polinomios y otras herramientas útiles para tratar de cancelar términos y obtener un límite determinado.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1
En el ejemplo anterior se aplicó diferencia de cuadrados.
Veamos otros ejemplos con diferencia de cuadrados:
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
En el siguiente ejemplo, se ha utilizado cubo de un binomio.
Recordemos:
Límites con radicales.
Para poder enfrentar los límites de este caso, es recomendable observar, primero, cuál es el factor que presenta el radical. Luego, hallar el conjugado de ese factor. Posteriormente, se deberá multiplicar la función por una fracción formada por dicho conjugado, tanto en el numerador como en el denominador.
Por último, será cuestión de aplicar las propiedades matemáticas que sean pertinentes para llegar a un resultado.
Veamos un ejemplo:
Límites con funciones trigonométricas
Los límites con funciones trigonométricas pueden resolverse teniendo en cuenta tanto las identidades trigonométricas como propiedades vistas en otros artículos. En este artículo, les presentamos, además, un límite especial de gran importancia para la resolución de ejercicios:
\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 \)
¿De dónde proviene esto?
Su demostración se deduce de la siguiente manera:
Consideren un ángulo cuya medida en radianes sea \( x\), siendo \(<x<\frac{\pi }{2}\).
Luego, \( sen x < x <\tan x \)[Ec. 1]
y como \( senx\neq 0\), entonces podemos dividir la Ec. 1 por \(senx\):
\(\frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{tanx}{senx}\) [Ec. 2]
Sabiendo que \( \tan x=\frac{senx}{cosx}\), podemos reemplazar \( \tan x \) en la Ec. 2.
\( \frac{senx}{senx}<\frac{x}{senx}<\frac{senx}{cos.senx}\)
Resulta, entonces, que:
\( 1<\frac{x}{senx}<\frac{1}{cosx}\)
Por lo tanto:
\( 1>\frac{senx}{x}>cosx \)
O bien:
\( cosx<\frac{senx}{x}<1\) (Inec. 1)
y como \( \lim_{x\rightarrow 0} cosx=\lim_{x\rightarrow 0} 1=1 \), resulta que:
\( \lim_{x\rightarrow 0}\frac{senx}{x}=1 \)
Es necesario indicar que, para que la igualdad de la Inec. 1 sea correcta, se debe tener en cuenta el siguiente teorema:
Si f y g son dos funciones tales que \( \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=L \) y h es otra función tal que para todo x próximo a a se verifica que: \( f(x)\leq h(x)\leq g(x)\), entonces existe el límite de h(x) cuando x tienda a a y ese límite vale L.
Ejemplo 1
En este ejemplo, vamos a calcular el límite de la función dada:
Vemos que el argumento es idéntico al denominador. Este límite también da 1. ¿Por qué? Sucede que el límite genérico \( \lim_{mx\rightarrow 0}\frac{senmx}{mx}\) también da 1, es decir: \( \lim_{mx\rightarrow 0}\frac{senmx}{mx}=1\)
Ejemplo 2
Calcular el límite siguiente:
Podemos observar que hemos multiplicado toda la función por “7/7”. Esto es válido pues dicha fracción es igual a 1 y no modifica a la función en sí, sino que nos permite “reacomodar” el denominador a nuestra conveniencia, de forma tal que nos quede “7x”, que justamente es lo mismo que el argumento de la función original. Aplicando propiedades de límites, obtenemos el resultado buscado.
Ejemplo 3
Calculemos el límite del ejemplo:
Aplicando propiedades de los límites, obtuvimos el límite especial por un lado y lo multiplicamos por el límite de cos(x) cuando x tiende a cero, obteniendo fácilmente el resultado buscado.
Ejemplo 4
Continuemos con un cuarto ejemplo:
Aquí, hemos multiplicado la función original por la fracción “3/3”. Como dicha fracción es igual a “1”, no nos modifica la función original en lo absoluto. Sólo nos ayuda a reorganizar el denominador para utilizar el límite especial y obtener el resultado que buscamos.
Ejemplo 5
Por último, apliquemos el límite especial para hallar un límite que presenta la función trigonométrica tangente.
Aquí, debemos tener en cuenta que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre su seno y su coseno. Luego, aplicamos la siguiente regla:
\( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a.d}{b.c}\)
De esta manera, obtenemos un límite especial fácil de calcular. A partir de esto, llegamos al resultado buscado, como se ve en la imagen.
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